Exercícios Resolvidos de Continuidade

É possível estender a função

f x , y = x + y x 2 + y 2

De modo que a função resultante seja contínua na origem?

Passo 1

Bem, olhando para essa função, logo de cara já sabemos que ela não está definida na origem. Assim, para ela ser contínua na origem, precisamos primeiramente defini-la na origem E fazer com que o valor dela na origem seja igual ao limite dela quando ( x , y ) tendem a ( 0,0 ) .

Então na real mesmo, o que temos que fazer é calcular

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y )

E ver se ele existe. E, se ele existir, dizer que quando x , y = ( 0,0 ) , a função vale esse valor de limite que encontrarmos.

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Passo 2

Vamos ver se ele existe então.

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2

Tentando por simples substituição, chegamos a indeterminação 0 0 .

Passo 3

Beleza, mas observa uma coisinha: o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (4). Isso é um forte indicio de que esse limite não existe. Desse modo, vamos tentar calculá-lo por caminhos.

Por exemplo, através da reta y = m x :

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y x 2 + y 2 =   lim x → 0 ⁡ x + m x x ² + m x ² = lim x → 0 ⁡ x ( 1 + m ) x ² ( 1 + m ) = lim x → 0 ⁡ ( 1 + m ) x ( 1 + m ² ) → ∞

Opa, então esse limite não existe. Se ele não existe, não é possível definir a função no ponto ( 0,0 ) , isto é, dizer que ela é igual ao valor do limite. Assim, não é possível estender a função f de modo que a função resultante seja contínua na origem.

Resposta

Não.

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