Exercícios Resolvidos de Continuidade

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.1, questão 1a

Resolva o que se pede:

  1. Determine A tal que a função

f x , y = 2 s e n x 2 + y 2 ln ⁡ 3 x 2 + 3 y 2 + e x 2 + y 2 se x , y ≠ 0,0 A se x , y = 0,0

Seja contínua e tenha R 2 como seu domínio. Sugestão: Utilize coordenadas polares

Passo 1

Como a função é definida por partes, vamos começar estudando a continuidade da função para ( x , y ) ≠ 0,0 . Perceba que a função é composta de outras funções contínuas, e que:

3 x 2 + 3 y 2 + e > 0

Logo, garantimos que a função f é contínua em ( x , y ) ≠ 0,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos estudar a continuidade no ponto x , y = 0,0 . Para a função ser contínua, devemos ter:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0,0 = A

Devemos calcular esse limite. Vamos ter:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 s e n x 2 + y 2 ln ⁡ 3 x 2 + 3 y 2 + e x 2 + y 2

Tentando calcular o limite por substituição direta, chegamos a indeterminação:

0 0

Então, vamos buscar outra forma para calcular esse limite.

Passo 3

Seguindo a sugestão, vamos utilizar ascoordenadas polares:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Com r → 0 . O limite vai ficar:

lim r → 0 ⁡ 2 s e n r c o s θ 2 + r s e n θ 2 ln ⁡ 3 r c o s θ 2 + 3 r s e n θ 2 + e r c o s θ 2 + r s e n θ 2

lim r → 0 ⁡ 2 s e n r 2 ln ⁡ 3 r 2 + e r 2

Ainda temos uma indeterminação do tipo:

0 0

Passo 4

Podemos usar L’Hospital para calcular esse limite:

lim r → 0 ⁡ 2 s e n r 2 ln ⁡ 3 r 2 + e r 2 = lim r → 0 ⁡ 4 r c o s r 2 ln ⁡ 3 r 2 + e + 6 r 3 r 2 + e 2 s e n r 2 2 r

Ajeitando:

lim r → 0 ⁡ 4 c o s r 2 ln ⁡ 3 r 2 + e + 6 3 r 2 + e 2 s e n r 2 2 = 4 + 0 2 = 2

Então:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 2 = A

Temos:

A = 2

Resposta

a) A = 2  

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