Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2016, Questão 3a

Seja f : R 2 R ² dada por

f x , y = x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3 ,     s e     x y     1 3 ,     s e     x = y

Decida se f é contínua nos pontos ( 0,0 ) e ( 1,1 ) .

Passo 1

Para uma função ser continua num ponto, a seguinte igualdade deve ser verdadeira:

lim x , y ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 )

Ou seja, para o ponto ( 0,0 ) , devemos ter:

lim x , y ( 0,0 ) f ( x , y ) = f 0,0 = 1 3

E para o ponto ( 1,1 ) , devemos ter:

lim x , y ( 1,1 ) f ( x , y ) = f 1,1 = 1 3

Vamos calcular esses limites então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando por

lim x , y ( 0,0 ) f ( x , y )

lim x , y ( 0,0 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3

Se tentarmos simplesmente substituir o ponto ( 0,0 ) , vemos que chegamos a uma indeterminação do tipo 0 0 .

Assim, precisamos de outra maneira pra resolver esse limite.

Se olharmos para a expressão do limite, também não parece que o teorema do sanduiche se aplica. Dessa forma, suspeitamos que esse limite não existe.

Para provar isso, vamos tentar calculá-lo pelo caminho ( t , 0 ) :

lim x , y ( 0,0 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3 = lim t 0 t ² sen ( t - 0 ) t 3 - 0 = lim t 0 t ² sen ( t - 0 ) t 3 - 0 = lim t 0 sen t t = 1

Pois esse é um limite trigonométrico fundamental.

Ok, agora vamos tentar pelo caminho ( 0 , t ) :

lim x , y ( 0,0 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3 = lim t 0 0 . sen ( 0 - t ) 0 - t 3 = 0

Ou seja, calculando por dois caminhos direrentes, achamos resultados diferentes, logo, esse limite não existe mesmo e assim a função não pode ser contínua em ( 0,0 ) .

Passo 3

Agora, vamos resolver

lim x , y ( 1,1 ) f ( x , y )

lim x , y ( 1,1 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3

Se tentarmos simplesmente substituir o ponto ( 0,0 ) , vemos que chegamos novamente a uma indeterminação do tipo 0 0 .

Assim, precisamos de outra maneira pra resolver esse limite.

Repare que a expressão do limite pode ser escrita como

x 2 sen ( x - y ) x 3 - y 3 = x 2 x 2 + x y + y ² sen x - y x - y  

Então, ficamos com:

lim x , y ( 1,1 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3 = lim x , y ( 1,1 ) x 2 x 2 + x y + y ² sen x - y x - y

Passo 4

Para resolver esse limite, como ele é o produto de duas funções contínuas, podemos fazer:

lim x , y ( 1,1 ) x 2 x 2 + x y + y ² l i m x , y ( 1,1 ) sen x - y x - y

Para resolver esse primeiro limite, podemos fazer:

lim x , y ( 1,1 ) x 2 x 2 + x y + y ² = lim x , y ( 1,1 ) 1 2 1 2 + 1.1 + 1 ² = 1 3

Nesse caso dava pra substituir direto, pois o ponto ( 1,1 ) faz parte do domínio dessa função aí, daí a gente não chegou a nenhuma indeterminação usando a simples substituição.

Passo 5

Maravilha, agora vamos resolver

l i m x , y ( 1,1 ) sen x - y x - y

Nesse caso, repare que temos um termo que se repete no numerador e no denominador: x - y . Parece uma boa ideia fazer uma mudança de variável então:

u = x - y

Assim:

x , y 1 , 1 u 0

O limite fica:

lim u 0 sen u u = 1

Porque esse é o limite fundamental trigonométrico.

Passo 6

Voltando ao nosso limite de interesse e substituindo os resultados que encontramos, temos, finalmente:

lim x , y ( 1,1 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3 = lim x , y ( 1,1 ) x 2 x 2 + x y + y ² sen x - y x - y

lim x , y ( 1,1 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3 = 1 3 1 = 1 3

Opa, então

lim x , y ( 1,1 ) x ² sen ( x - y ) x 3 - y 3 = f 1,1 = 1 3

E nossa função é contínua no ponto ( 1,1 ) .

Resposta

f não é contínua em ( 0,0 ) , mas é contínua em ( 1,1 ) .

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