Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2016.1, Questão E3

Seja

f x , y = x 2 s i n y x 2 + y 4 s e   x , y 0,0 0 s e   x , y = 0,0

Então, verifique a sua continuidade:

a f x , y é descontínua em todos os pontos de R 2

b f x , y é contínua em R 2 - 0,0

c f x , y é descontínua em todos os pontos da parábola x = y 2

d f x , y é contínua em todos os pontos de R 2

e f x , y é contínua somente na origem

Passo 1

Temos que calcular o limite da função dada tendendo ao ponto ( 0,0 ) :

l i m x , y 0,0 x 2 s i n y x 2 + y 4

Fazemos:

0 x 2 x 2 + y 4

Dividimos tudo por x 2 + y 4 :

0 x 2 x 2 + y 4 x 2 + y 4 x 2 + y 4 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos multiplicar tudo por s i n y .Dividimos em 2 casos:

  • Caso 1: s i n y   > 0
  • 0 x 2 s i n y x 2 + y 4 s i n y

    Então, calculando limite:

    lim x , y 0,0 0 lim x , y 0,0 x 2 s i n y x 2 + y 4 lim x , y 0,0 s i n y = 0

    Logo, pelo teorema do sanduíche:

    l i m x , y 0,0 x 2 s i n y x 2 + y 4 = 0

    Passo 3

  • Caso 2: s i n y < 0

0 x 2 s i n y x 2 + y 4 s i n y

Então, calculando limite:

lim x , y 0,0 0 lim x , y 0,0 x 2 s i n y x 2 + y 4 lim x , y 0,0 s i n y = 0

Logo, pelo teorema do sanduíche:

l i m x , y 0,0 x 2 s i n y x 2 + y 4 = 0

Passo 3

Portanto,pelo teorema do Sanduíche:

l i m x , y 0,0 x 2 s i n y x 2 + y 4 = 0

E isso é justamente nossa função f , para x , y 0 ,   0 . Logo:

l i m x , y 0,0 f ( x , y ) = 0

Passo 4

Agora temos que comparar com o valor da função no ponto ( 0,0 ) . Esse valor é dado quando x , y = ( 0,0 ) :

f 0,0 = 0

Logo:

l i m x , y 0,0 f ( x , y ) = f ( 0,0 )

Pronto! Então essa função é contínua nesse ponto.

Note que, em todos os outros pontos, o limite será sempre igual ao valor da função nesses pontos, pois é a simples substituição de valores.

Como se trata de um quociente de funções contínuas, então a função é contínua nesses pontos .

Poratanto, a função é contínua em todos os pontos do R 2

Resposta

Letra d

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