Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

USP, Cálculo 2, P1 - 2018, Questão ME5

O valor de k que torna a função

f x , y = e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2 ,     x , y ( 0,0 )     k ,     x , y = ( 0,0 )

Contínua em R 2 é:

  1. - 2
  2. - 1
  3. 0
  4. 1
  5. Não existe k que torne f continua em ( 0,0 )

Passo 1

Basicamente, o que ele quer é que a gente encontre o limite

lim x , y 0,0 f x , y

Assim, definindo

f 0 ,   0 = k = lim x , y 0,0 f x , y

a função passa a ser contínua na origem. Show? Então mão na massa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, precisamos resolver o limite

lim x , y 0,0 e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2

E aí amigo, aí o bicho pega....

Brincadeira hahah

Vamos pensar juntos.

Tá vendo ali no expoente do e , a gente tem x 2 + y 2 e no denominador tambem temos isso. Acontece que no expoente isso tá multiplicado por ( x - 1 ) .

Então vamos fazer o seguinte, vamos multiplicar por ( x - 1 ) no denominador também?

Aí a gente fica com isso

lim x , y 0,0 e x - 1 x 2 + y 2 - 1 ( x - 1 ) ( x 2 + y 2 ) ( x - 1 )

Passo 3

Agoooora, eu não sei se você reparou, mas temos coisa repetida em cima e em baixo...

Então fica bacana fazer uma mudança de variável. Tipo assim

u = ( x - 1 ) ( x 2 + y 2 )

Dai ficamos com

lim x , y 0,0 e u - 1 u x - 1

Tá, mas ainda não eliminamos esse x do nosso limite.

Só que na real eliminamos sim. Porque são funções contínuas, então a gente pode fazer isso aqui oh:

lim x , y 0,0 x - 1 lim e u - 1 u

E quando x , y ( 0,0 ) :

u = 0 - 1 0 2 + 0 2 0

Assim

lim x , y 0,0 x - 1 lim u 0 e u - 1 u

Pronto, agora temos tudo!

Passo 4

Bora resolver esses limites.

lim x , y 0,0 x - 1 = 0 - 1 = - 1

lim u 0 e u - 1 u = e u = e 0 = 1

Nesse segundo aí eu usei a querida regra de L’Hospital pra sair da indeterminação, porque ele é um limite de uma variável só, tranquilo?

Então

lim x , y 0,0 x - 1 lim u 0 e u - 1 u = - 1 1 = - 1

Ou seja

k = lim x , y 0,0 e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2 = - 1

Resposta

L e t r a   b

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