Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2014.2, Questão ME4

Considere a equação diferencial y ' ' + y ' - c y = 0 . Qual o valor de c de modo a que a função y t = 3 t e - t 2 seja solução da equação diferencial?

(a) c = 0

(b) c = 2

(c) c = 1

(d) c = - 1

(e) c = - 1 / 4

Passo 1

Vamos jogar a função y na EDO, assim vai dar pra determinar o valor de c !

Mas primeiro precisamos das derivadas de y :

y ' t = 3 e - t 2 + 3 t e - t 2 - 1 2

y ' t = 3 - 3 2 t e - t 2

Então a derivada segunda é:

y ' ' t = - 3 2 e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - 1 2

y ' ' t = - 3 2 - 1 2 3 - 3 2 t e - t 2

y ' ' t = - 3 2 - 3 2 + 3 4 t e - t 2

y ' ' t = - 3 + 3 4 t e - t 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, então jogando esses valores na equação, temos

y ' ' + y ' - c y = 0

- 3 + 3 4 t e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - c 3 t e - t 2 = 0

- 3 + 3 4 t + 3 - 3 2 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

- 3 4 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

e - t 2 > 0 ,     t R então podemos cortar e - t 2 dos 2 lados, o que dá:

- 3 4 t = 3 c t

  - 1 4 t = c t

t = 0       o u     c = - 1 4

Passo 3

Repare que se t = 0 , temos:

y ' ' 0 = - 3 + 0 e 0 = - 3

y ' 0 = 3 + 0 e 0 = 3

y 0 = 0 e 0 = 0

Portanto,

y ' ' 0 + y ' 0 - c y 0 = - 3 + 3 - 0 = 0

Ou seja, se t = 0 , a função y é solução da equação, não importando o valor de c .

Então para que y seja sempre solução da EDO, para qualquer valor de t , devemos ter c = - 1 4 .

Resposta

Alternativa (e)

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