Passo 1

Como o enunciado já falou direto, a gente vai ter que inverter essa ordem de integração. Lembra como a gente faz isso? Não pode esquecer! A gente tem que esboçar a região, sempre.

Temos nesse caso aqui, pelas integrais:

0 ≤ x ≤ y

0 ≤ y ≤ π

Esse x = y é o mais complicadinho, né? Mas ele veio da parábola

x = y → y = x 2

Então o esboço fica assim:

Passo 2

Vamos fazer agora a análise pelo T i p o   I e pelo T i p o   I I . Lembrando que no T i p o   I a gente fica com isso aqui

a ≤ x ≤ b f 1 x ≤ y ≤ f 2 x

E no T i p o   I I a gente fica com

g 1 y ≤ x ≤ g 2 y c ≤ y ≤ d

Ou seja, o enunciado deu pra gente o T i p o   I I , então queremos inverter tudo para o T i p o   I .

No esboço do T i p o   I , a gente analisa a região com setas verticais, e no T i p o   I I a gente analisa com setas horizontais, assim:

Analisando o Tipo I, a seta sempre entra na parábola y = x 2 e sai na reta y = π , tudo isso no intervalo de x entre 0 e π . Portanto

0 ≤ x ≤ π x 2 ≤ y ≤ π

Passo 3

A integral fica assim então

∫ 0 π ∫ x 2 π x cos ⁡ y d y d x

Integrando em y

∫ 0 π x sen ⁡ y y = x 2 y = π d x

= ∫ 0 π x sen ⁡ π - sen ⁡ x 2 d x

Como sen ⁡ π = 0 , temos que

= ∫ 0 π - x sen ⁡ x 2 d x

Passo 4

Para integrar em x , vamos ter que fazer uma substituição simples:

u = x 2

d u = 2 x   d x

x = 0 → u = 0

x = π → u = π

- ∫ 0 π sen ⁡ x 2 ⏟ sen ⁡ u x d x ⏟ d u 2 = - 1 2 ∫ 0 π sen ⁡ u d u

Integrando em u

= - 1 2 - cos ⁡ u u = 0 u = π

= 1 2 [ cos ⁡ π - cos ⁡ 0 ]

= 1 2 - 1 - 1

= - 2 2

= - 1

Resposta

- 1

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x