Calcule a integral

I = ∫ 0 1 ∫ e x e x e y ( ln ⁡ y )   2 d y d x

Passo 1

Deveríamos começar a questão pela integral de dentro ∫ e x e x e y ( ln ⁡ y )   2 d y , mas ela parece ser muito complicada. Muitas vezes, quando você não tem a menor ideia de como calcular uma integral dupla, é uma boa tentar mudar a ordem de integração. É o que faremos aqui.

Primeiro, vamos esboçar a região em questão. Perceba que a exponencial e x corta o eixo y em 1 (pois e 0 = 1 ) e que e x = e para x = 1 . O domínio da integral é essa área entre a curva azul e a vermelha.

Passo 2

Agora vamos reescrever essa região como tipo II. Pelo próprio gráfico, vemos que y varia entre 1 e e (a reta azul), portanto 1 ≤ y ≤ e .

Já o valor de x varia entre 0 e a reta vermelha, vamos escrevê-la, então, em função de y :

y = e x → x = ln ⁡ y

Nosso domínio será, então:

D = { ( x , y ) | 1 ≤ y ≤ e ; 0 ≤ x ≤ ln ⁡ y }

Passo 3

Podemos, então, reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ y x e y ( ln ⁡ y )   2 d x d y

Perceba que a integral ficou muito mais simples agora.

Passo 4

Vamos, agora, integrar em relação a x :

= ∫ 1 e x 2 2 e y ( ln ⁡ y )   2 x = 0 x = ln ⁡ y d y =

= ∫ 1 e ln ⁡ y 2 2 e y ( ln ⁡ y )   2 d y =

= ∫ 1 e e y 2 d y =

Passo 5

Integraremos, então, em relação a y :

= e y 2 1 e =

Resposta

( e e - e ) 2

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Inverta a ordem de integração.