Calcule a integral, trocando a ordem de integração

∫ 0 4 ∫ x 2 e y 3 d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∫ 0 4 ∫ x 2 e y 3 d y d x

E pediu para invertermos os limites de integração antes de integrar! e agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando os limites de integração vemos que

x ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ 4

E esboçando essa região, temos isso aqui

x = y 2 , então esse é nosso limite superior em x . E a função mais à esquerda é x = 0 . Já os limites em y vão de 0 até 2

Invertendo a ordem temos o seguinte

0 ≤ x ≤ y 2

0 ≤ y ≤ 2

Daí nossa integração começa em x !

d x   d y

E o integrando? Fica igual! Só mudamos a ordem de integração! Beleza?

Agora é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∫ 0 4 ∫ x 2 e y 3 d y d x

Mudando os limites de integração temos

0 ≤ x ≤ y 2

0 ≤ y ≤ 2

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 e y 3 d x d y

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 e y 3 d x d y

Considerando y constante, e fazendo a integração temos

∫ 0 2 e y 3 x 0 y 2 d y = ∫ 0 2 y 2 e y 3 d y

Tudo bem até aqui?

y !

Passo 4

Ficamos com essa integral aqui

∫ 0 2 y 2 e y 3 d y

Usando substituição simples u = y 3   temos:

u = y 3 → d u = 3 y 2   d y → d u 3 = y 2   d y

Quando y = 0 → u = 0 , agora quando y = 2 ,   u = 8 . Integrando temos:

1 3 ∫ 0 8 e u   d u = 1 3 e 8 - 1

Beleza? Acabamos! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 3 e 8 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.