Calcule as seguintes integrais duplas:

a)

∫ ∫ 2 y 2 - 3 x y 3 d x   d y R

Onde R = x , y : 1 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ 2 y 2 - 3 x y 3 d x   d y R

Onde R = x , y : 1 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 3

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 0 3 ∫ 1 2 2 y 2 - 3 x y 3 d x   d y

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ 1 2 2 y 2 - 3 x y 3 d x  

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 1 2 2 y 2 d x   - ∫ 1 2 3 x y 3 d x   ∴

= 2 y 2 ∫ 1 2 1 d x   - y 3 ∫ 1 2 3 x d x   ∴

= 2 y 2 x - 3 y 3 x 2 2 2 1 ∴

= 2 y 2 - 9 y 3 2

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 3 ∫ 1 2 2 y 2 - 3 x y 3 d x   d y = ∫ 0 3 2 y 2 - 9 y 3 2 d y ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 0 3 2 y 2 d y - ∫ 0 3 9 y 3 2 d y ∴

= 2 ∫ 0 3 y 2 d y - 9 2 ∫ 0 3 y 3 d y ∴

= 2 y 3 3 - 9 2 * y 4 4 3 0 ∴

= 2 * 3 3 3 - 9 * 3 4 8 ∴

= - 585 8

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

- 585 8

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.