Seja D a região de R 2 acima do gráfico de y = x 2 e abaixo da reta y = x .

a) Escreva a integral dupla

∫ ∫ D x y d A

como uma integral iterada.

b) Encontre uma integral iterada equivalente à integral encontrada no item (a) com a ordem de integração invertida.

c) Calcule uma das integrais iteradas encotradas nos itens (a) e (b).

Passo 1

a) Cara, escrever essa integral como uma integral iterada, é definir D com extremos de integração e montar a integral de x y com eles.

A gente começa entendendo nossa região.

Ela é limitada pela curva y = x 2 , que é uma parábola virada para cima que passa pela origem. E y = x , uma reta que passa pela origem e tem angulação de 45 ° .

É uma boa ter o gráfico delas memorizado, tá? E aí esboçando nossa região D , a região entre essas curvas, temos

Repara que a interseção entre elas ocorre nos pontos 0,0 e 1,1 , beleza? Dá para achar isso calculando a interseção entre elas também:

y = x ,     y = x 2

x = x 2 ∴ 0 = x 2 - x ∴ 0 = x x - 1 ∴ x = 0 ,   x = 1

Vamos ver como montar essa integral! Bora!

Passo 2

Vamos descrever D como extremos de integração.

Precisamos limitar uma das variáveis entre constantes e a outra pode estar entre funções, beleza?

Vamos começar olhando para o eixo x . A gente pode dizer que nele, a nossa região está limitada entre os valores de x = 0 e x = 1 .

Aí a gente diz:

0 ≤ x ≤ 1

Agora olhando para x , a gente vê que ele (dentro do intervalo de x que a gente definiu), está entre a reta y = x , limitando nossa região por cima, e y = x 2 , limitando nossa região por baixo. Então a genta pode escrever:

x 2 ≤ y ≤ x

Como y está entre funções de x , a gente diz que essa é uma região do tipo I.

Passo 3

Agora é montar a integral. Já temos o integrando:

∫ ∫ D x y d A

Aí achamos os extremos de integração:

0 ≤ x ≤ 1

x 2 ≤ y ≤ x

Aí como precisamos integrar primeiro em relação a variável que está entre funções, fica assim:

∫ 0 1 ∫ x 2 x x y d y d x

Prontinho! Tá aí nossa integral iterada.

Passo 4

b) Vamos descrever D como extremos de integração de novo. Mas precisamos inverter a ordem de integração.

Para inverter a ordem de integração de uma integral dupla, a gente precisa colocar a variável que estava entre constantes entre funções, no nosso caso, colocar x entre funções de y .

E a variável que estava entre funções, colocamos entre constantes. No caso, colocar y entre constantes.

Vamos começar olhando para o eixo y . A gente pode dizer que nele, a nossa região está limitada entre os valores de y = 0 e y = 1 .

Aí a gente diz:

0 ≤ y ≤ 1

Agora, para limitar x entre funções, precisamos achar nossas curvas como funções de y . Basicamente é isolar x nelas.

A nossa região está limitada pela esquerda por y = x . Aí x já está isolado. E estar limitada pela direita por y = x 2 . Isolando x :

x = y

Vai ser a parte positiva da raiz, pois estamos na parte onde x ≥ 0 .

Aí a gente limita x assim:

y ≤ x ≤ y

Como y está entre constantes, a gente diz que essa é uma região do tipo II.

Passo 5

Agora é montar a integral. Já temos o integrando:

∫ ∫ D x y d A

Aí achamos os extremos de integração:

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ y

Aí como precisamos integrar primeiro em relação a variável que está entre funções, fica assim:

∫ 0 1 ∫ y y x y d x d y

Prontinho! Tá aí nossa integral iterada com a ordem de integração invertida.

Passo 6

c) Como a gente pode escolher, vamos calcular a integral do item (a), já que ela não tem nenhuma raiz, está mais fofa.

Fica assim:

∫ 0 1 ∫ x 2 x x y d y d x

Em relação a y , x vai ser constante, então podemos fazer:

∫ 0 1 x ∫ x 2 x y d y d x = ∫ 0 1 x y 2 2 x 2 x d x = ∫ 0 1 x x 2 2 - x 4 2 d x =

= ∫ 0 1 x 3 2 - x 5 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 x 3 - x 5 d x = 1 2 x 4 4 - x 6 6 0 1 =

= 1 2 1 4 - 1 6 = 1 24

Resposta

a) ∫ 0 1 ∫ x 2 x x y d y d x

b) ∫ 0 1 ∫ y y x y d x d y

c) 1 24

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.