Calcule a integral:

∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 sin ⁡ y 3 d y   d x

Dica: inverta a ordem de integração

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Poderíamos tentar de n maneiras resolver a integral na ordem em que está, mas isso resultaria muito trabalho e as vezes não funciona.

Sendo, assim... lembrando que é uma prova, queremos poupar tempo, e ganhar nossos pontos fazendo tudo estando convictos dos pontos. Assim, vamos inverter a ordem de integração, ou seja, substituir dydx por dxdy

Mas é tão fácil assim? Não, não é. Lembre-se que o intervalo de 0 a 1 é para o dx, e não para o dy, e ele é satisfeito se dy vem antes, pois veja que dy tem intervalo que depende x.

Bom, então temos que olhar novamente para os limites e reanalisar quais que devem ser os novos limites.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sendo assim, façamos o esboço do gráfico dos intervalos de integração de x e y:

Onde estão as curvas e suas cores nas legendas.

Veja carinha, que se queremos trocar de dydx para dxdy, concorda comigo que devemos analisar primeiro dx? Porque é com ele que vamos começar a integração.

Assim, vemos que com relação ao eixo y, x percorre de 0 e segue a função y , e y nesse caminho percorre de 0 até 1, resumindo:

x ∈ 0 , y

y ∈ 0,1

De forma que a nossa integral fica:

∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 sin ⁡ y 3 d y   d x → ∫ 0 1 ∫ 0 y x 3 sin ⁡ y 3 d x   d y

E vai ver que agora a vida é um morango hashushua, essa integral vai sair mole mole.

Passo 3

∫ 0 1 ∫ 0 y x 3 sin ⁡ y 3 d x   d y

Integrando em x:

∫ 0 1 x 4 4 0 y sin ⁡ y 3 d y

∫ 0 1 y 2 4 sin ⁡ y 3 d y

Veja que temos dois termos com y 2 e y 3 , para facilitar ainda mais, façamos uma susbtistituição:

u = y 3

De forma que:

d u d y = 3 y 2

E quando fazemos uma substituição, qualquer que seja, devemos fazer uma analise de como que os novos limites d integração reagem à essa nova interação, sendo assim:

q u a n d o   y = 0 → u = 0 3 = 0

q u a n d o   y = 1 → u = 1 3 = 1

Assim a nossa nova integral fica:;

∫ 0 1 y 2 3 y 2 4 sin ⁡ u d u = ∫ 0 1 1 12 sin ⁡ u d u

E agora basta integrarmos o seno.

Sabemos que a integral do seno é menos o cosseno. Logo:

∫ 0 1 1 12 sin ⁡ u d u = 1 12 - cos ⁡ u 0 1

1 12 - cos ⁡ 1 + 1

E assim achamos o resultado da nossa integral.

Resumindo:

∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 sin ⁡ y 3 d y   d x = 1 12 - cos ⁡ 1 + 1

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 sin ⁡ y 3 d y   d x = 1 12 - cos ⁡ 1 + 1

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.