Calcule ∫ - 1 0 ∫ 1 - 1 - x 2 1 x s e n y 2 - y 3 3 d y d x .

Passo 1

Bom, olhando para a integral, já vemos que tá complicado integrar isso aí direto. Digo, em relação a y tá complicado, mas em x seria bem melhor, não é? Vamos tentar trocar essa ordem de integração então.

Queremos isso aqui:

∫ ? ? ∫ ? ? x s e n y 2 - y 3 3 d x d y

Ou seja, precisamos reescrever essa região de integração, para isso, vamos fazer um desenho dela, ok?

Vemos que y varia desde y = 1 - 1 - x 2 até a reta y = 1 . Mas que diabos de curva é y = 1 - 1 - x 2 ? Repara no seguinte:

y = 1 - 1 - x 2

y - 1 = - 1 - x 2

Até aqui nada mudou, certo? Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado:

y - 1 2 = 1 - x 2

Como elevamos ao quadrado, temos que levar com a gente a restrição:

y - 1 ≤ 0

y ≤ 1

Isso porque a raiz tem que ser ≥ 0 , como temos um sinal negativo antes dela, sabemos que o lado esquerdo da equação é ≤ 0 . Cuidado porque essa informação se perde quando elevamos os dois lados da equação ao quadrado! Por isso, temos que fazer essa análise.

Rearrumando a equação, temos:

x 2 + y - 1 2 = 1

Com y ≤ 1 . Ok, agora vamos pensar.

Se fosse x 2 + y 2 = 1 , seria uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Esse - 1 ao lado do y faz com que essa circunferência tenha o centro deslocado em y , no caso, para ( 0,1 ) . Ou seja, isso aqui:

Calma que tem mais. Não podemos nos esquecer de que y ≤ 1 :

Tá, isso aí representa a curva y = 1 - 1 - x 2 . Sabemos que a região tem y desde essa curva até a reta y = 1 .

Além disso, os limites lá da integral inicial eram:

- 1 ≤ x ≤ 0

Portanto x vai desde x = - 1 até x = 0 .

Temos, então:

Passo 2

Ok, agora vamos reescrever essa região como tipo II, ou seja, com x variando entra curvas e y entre números.

A variável x está entre esse arco de circunferência e a reta x = 0 . Isolando x na equação da circunferência, temos:

x 2 + y - 1 2 = 1

x = - 1 - y - 1 2

Esse sinal negativo está ai porque sabemos que x ≤ 0 .

Logo, - 1 - y - 1 2 ≤ x ≤ 0.

Como vemos pela figura, temos 0 ≤ y ≤ 1 . Passando isso para a integral com a ordem invertida, temos:

= ∫ 0 1 ∫ - 1 - y - 1 2 0 x s e n y 2 - y 3 3 d x d y =

Passo 3

Agora é só resolver isso aí

= 1 2 ∫ 0 1 x 2 s e n y 2 - y 3 3 - 1 - y - 1 2 0 d y =

= - 1 2 ∫ 0 1 1 - y - 1 2 s e n y 2 - y 3 3 d y =

= - 1 2 ∫ 0 1 - y 2 + 2 y s e n y 2 - y 3 3 d y =

Calma que não é tão ruim quanto parece. Olha só, vamos chamar esse termo dentro do seno de u :

y 2 - y 3 3 = u

2 y - y 2 d y = d u

Olha que lindo, isso é exatamente o que temos na integral. Percebeu? Vamos calcular o novo intervalo de integração:

y = 1         →           u = 2 3

y = 0         →           u = 0

Levando isso para a integral, temos:

= - 1 2 ∫ 0 2 / 3 s e n u d u =

= 1 2 cos ⁡ u 0 2 3 =

= 1 2 cos ⁡ 2 3 - 1

Resposta

1 2 cos ⁡ 2 3 - 1

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x