Considere a integral abaixo

∫ 0 4 ∫ x 2 x 1 + y 5 d y   d x

b) inverta a ordem de integração

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa integral dupla

∫ 0 4 ∫ x 2 x 1 + y 5 d y   d x

E pediu para invertermos a ordem de integração. Mas como fazer isso?

Precisamos olhar para os limites dados! Da integral nossos limites são:

x < y < 2

0 < x < 4

E agora vamos colocar esses limites em um gráfico:

Na integral dada o limite é d y   d x , então temos que olhamos primeiro no y (função mais para cima menos a função que está mais para baixo), já x varia de um número a outro. Agora para inverter a ordem vamos olhar primeiro para o x : a função mais à direita menos a mais à esquerda, e o y é quem vai de um número até outro

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Quando temos d y d x nossos limites são

x < y < 2

0 < x < 4

Temos essas equações limitantes aqui

y = x → x = y 2

y = 2

x = 0

x = 4

Agora vamos analisar em x primeiro:

A função mais à direita é x = y 2 , que será nosso limite superior. A função mais à esquerda é x = 0 , nosso limite inferior. E quanto y ? Ele vai de 0 até 2 , como podemos ver pelo gráfico! Assim nossos limites na ordem invertida ficam

0 < x < y 2

0 < y < 2

Tudo bem até aqui?

E a integral fica

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 x 1 + y 5 d x   d y

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 x 1 + y 5 d x   d y

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.