Quando convertida em uma integral iterada, as integrais duplas a seguir são mais fáceis de calcular em uma ordem do que outra. Escolha a melhor ordem de integração e calcule a integral

a ) ∬ R x sec 2 ⁡ x y d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ π 3 ,   0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

Temos essa integral dupla para resolver

∬ R x sec 2 ⁡ x y d A

A região é retangular, então quanto a isso não precisamos nos preocupar com isso

0 ≤ x ≤ π 3

0 ≤ y ≤ 1

O que precisamos analisar é o integrando: escolher a melhor ordem de integração. Para escolher a melhor ordem precisamos pensar nas variáveis separadamente. Se considerarmos x constante, a integral resultante é fácil de resolver? Se a resposta for sim nossa ordem é

d y   d x

E se a resposta for não? Então a ordem é d x   d y . Beleza?

mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos essa integral aqui

∬ R x sec 2 ⁡ x y d A

Considerando x constante, ficamos com a integral da secante ao quadrado, que é tabelada! Então nossa resposta é sim! Assim nossa ordem de integração é

d y   d x

E a integral fica

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 x sec 2 ⁡ x y   d y   d x

Tudo bem até aqui? Vamos começar resolvendo em y :

u = x y ,   d u = x   d y

Quando y = 0 ,   u = 0 . Quando y = 1 ,   u = x

∫ 0 π / 3 ∫ 0 x sec 2 ⁡ u d u d x = ∫ 0 π 3 tan ⁡ u 0 x d x

E aplicar os limites de integração

∫ 0 π 3 tan ⁡ x d x

Beleza?

Passo 3

Agora pra ter certeza de que estamos no caminho certo precisamos que a variável y tenha sumido! Teremos uma integra apenas em x :

∫ 0 π 3 tan ⁡ x d x = ∫ 0 π 3 sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Agora é só integrar

u = cos ⁡ x ,   d u = - sin ⁡ x d x

- ∫ 1 u d u

= - ln ⁡ cos ⁡ x 0 π 3 = - ln ⁡ cos ⁡ π 3   - ln ⁡ cos ⁡ 0 =

- ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

ln ⁡ 2

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.