10 – Considere

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

Reescreva esta mesma integral invertendo a ordem de integração. Como ficariam os limites de integração agora? Qual o valor desta integral?

Passo 1

Fala aí. Tudo belezinha com você? Vem comigo resolver mais uma questão de integrais duplas.

E pra começar, vamos entender esse enunciado aí. Veja bem, a questão pede pra gente reescrever esta integral

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

Invertendo a ordem de integração.

Mas calma aí, porque aqui não podemos simplesmente trocar o d x d y por d y d x , isso faria com que nós estivéssemos integrando uma região totalmente diferente. Então para garantir que vamos fazer a trocar e manter a região de integração igual, nós precisaremos corrigir também os limites de integração. Belezinha???

E para fazer isso, vamos desenhar a região de integração para ver como fazer essa troca e depois calcular, de fato, a integral.

Vamos ver como fica no nosso caso? 😎

Passo 2

A integral original é

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

E podemos ver que y está variando entre as funções

0 ≤ y ≤ ln ⁡ x

E x está variando entre as constantes

1 ≤ y ≤ e

Então, desenhando essa região encontraremos:

Para inverter a ordem de integração precisaremos com que a integral fique desse jeito aqui:

∫ y 1 y 2 ∫ f 1 ( y ) f 2 ( y ) 1 e - e y d x d y

Ou seja, x precisa variar entre funções e y entre constantes.

Pelo gráfico podemos ver que x pode ser escrito com variação que vai da curva f y = e y e g y = e

Assim:

e y ≤ x ≤ e

E os valores de y estão variando entre as constantes y 1 = 0 e y 2 = 1 .

0 ≤ y ≤ 1

Agora que já temos os novos limites de integração, só nos resta resolver a integral, sendo:

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x = ∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y

Bora fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Resolvendo a integra utilizando o Teorema de Fubini, teremos:

∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y

∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y

Resolvendo a integral de dentro

∫ 0 1 x e - e y | e y e d y

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 e y e - e y - e e - e y d y

∫ 0 1 e - e y e - e y d y

∫ 0 1 1 d y

Show! Agora vamos resolver a integral de fora

∫ 0 1 1 d y = y |   0 1

Aplicando os limites de integração, ficaremos com:

∫ 0 1 1 d y = 1 - 0 = 1

Assim o resultado final da nossa integral é:

∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y = 1

Resposta

∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x = ∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.