Calcule

∫ 0 4 ∫ ln ⁡ ( x + 1 ) ln ⁡ 5 s e n   ( y - e y ) d y d x

Passo 1

Vamos esboçar essa região de integração para entender melhor o problema.

Temos como intervalo inferior de y a equação da curva y = ln ⁡ x + 1 . Você sabe desenhar isso aí? Não precisa ser nada preciso não, é só para termos uma ideia! Você pode pensar na curva ln ⁡ x para desenhar essa função, que é bem parecida. Vamos fazer uma curva com o mesmo formato de y = ln ⁡ x (que nós conhecemos), lembrando de passar ela pela origem, pois quando x = 0 temos y = ln ⁡ 1 = 0 . Beleza?

Agora vamos desenhar a outra extremidade do intervalo, y = ln ⁡ 5 , que é uma constante (uma reta paralela ao eixo x ).

Podemos ver, pela integral, que 0 ≤ x ≤ 4 , não é? Então, a região que nós temos é essa aqui:

Passo 2

Analisando a questão, percebemos que temos um problema: ∫ s e n   ( y - e y ) d y . Não sabemos calcular essa integral, por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo II.

Pelo gráfico, vemos que y varia entre 0 e ln ⁡ 5 e que x varia entre 0 e a curva azul ( y = ln ⁡ ( x + 1 ) ). Mas para escrever essa região como tipo II, precisamos isolar o x em y = ln ⁡ ( x + 1 ) , não é?

e y = x + 1

x = e y - 1

Logo, temos x variando desde x = 0 até x = e y + 1 . Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

∫ 0 ln ⁡ 5   ∫ 0 e y - 1 s e n   ( y - e y ) d x d y =

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a x :

= ∫ 0 ln ⁡ 5   s e n   ( y - e y ) x 0 e y - 1 d y =

= ∫ 0 ln ⁡ 5   e y - 1 s e n   ( y - e y ) d y =

Passo 4

Pronto, agora só precisamos resolver essa integral aí, vamos fazer por substituição:

u = y - e y

d u = 1 - e y d y

y = ln ⁡ 5       →       u = ln ⁡ 5 - 5

y = 0         →       u = - 1

Aplicando esses valores à nossa integral, temos:

= - ∫ - 1 ln ⁡ 5 - 5   s e n   u   d u =

= cos ⁡ u - 1 ln ⁡ 5 - 5 =

= cos ⁡ ( ln ⁡ 5 - 5 ) - cos ⁡ ( - 1 ) =

Resposta

cos ⁡ ( ln ⁡ 5 - 5 ) - cos ⁡ ( - 1 )

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x