Calcule a integral

∫ 0 1 ∫ y 1 sin ⁡ x 3 d x   d y

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

Essa integral quando vemos parece ser simples de se feita, porém quando começamos a fazê-la percebemos que a técnica direta não é eficaz, e que as ordens de integração se embolam, e acaba sobrando um termo de x 2 para a integração do y. Sendo assim, a técnica mais eficiente é substituímos a ordem de integração, que é conforme veremos agora.

Para esse tipo de integração quando temos que inverter a ordem de integração, temos que fazer que fazer um gráfico das funções da ordem de integração. Para esse caso, é algo nessa pegada:

Onde as suas funções e suas core respectivas na tabela

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sendo assim, nós temos a nossa integral com limites em termos de dx e dy, se queremos fazer em termos de dy dx teremos que tomar agora os limites com relação ao eixo x, assim vemos que:

Olhando a imagem do passo 1, vemos que x varia do centro ao ponto 1, ou seja de 0 até 1, assim:

0 ≤ x ≤ 1

Já y é uma questão mais complexa, e é dado pela função em vermelho, que é x = y , assim y = x 2 e começa da origem também. Assim:

0 ≤ y ≤ x 2

Resumindo, após a troca de intervalos temos:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ x 2

Passo 3

Assim:

∫ 0 1 ∫ y 1 sin ⁡ x 3 d x   d y → ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 sin ⁡ x 3   d y   d x

Integrando e y, temos:

∫ 0 1 y 0 2 sin ⁡ x 3 d x = ∫ 0 1 x 2 sin ⁡ x 3 d x

Veja que temos dois termos com x 2 e x 3 , para facilitar ainda mais, façamos uma substituição:

u = u 3

De forma que:

d u d x = 3 x 2

E quando fazemos uma substituição, qualquer que seja, devemos fazer uma analise de como que os novos limites d integração reagem à essa nova interação, sendo assim:

q u a n d o   x = 0 → u = 0 3 = 0

q u a n d o   x = 1 → u = 1 3 = 1

∫ 0 1 sin ⁡ u   x 2   1 3 x 2   d u

∫ 0 1 1 3 sin ⁡ u d u

Integrando então em u:

1 3 - cos ⁡ u 0 1 = 1 3 - cos ⁡ 1 - - 1 = 1 3 - cos ⁡ 1 + 1

Resumindo:

∫ 0 1 ∫ y 1 sin ⁡ x 3 d x   d y → ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 sin ⁡ x 3   d y   d x = 1 3 - cos ⁡ 1 + 1

Resposta

∫ 0 1 ∫ y 1 sin ⁡ x 3 d x   d y → ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 sin ⁡ x 3   d y   d x = 1 3 - cos ⁡ 1 + 1

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.