1. Inverta a ordem de integração (Tipo I para tipo II) e calcule:
  2. ∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

  3. Usando coordenadas polares calcule:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x

Passo 1

Temos aqui uma questão de integral dupla que nos pede para resolvê-la em duas etapas: primeiro, mudar a ordem de integração, e segundo, resolver a integral propriamente dita.

Sendo assim, vamos começar discutindo sobre essa mudança na ordem de integração. De cara já sabemos que a nossa integral está montada no formato do tipo 1 (poderíamos confirmar isto verificando que primeiro integramos em y e depois em x , só ver a ordem d y d x ).

Agora, vamos entender como a nossa região se comporta. Como temos uma integral do tipo I, sabemos que a nossa região está limitada acima pela curva ln ⁡ x e abaixo pela reta y = 0 (limites de integração da integral mais interna).

Para fecharmos a nossa região, falta as suas laterais. Então, da integral mais externa, temos que ela é limitada a esquerda pela reta x = 1 e limitada a direita pela reta x = e .

Ao fazermos esboço dessa região, teremos:

Passo 2

Agora que nós conseguimos visualizar a nossa região, fica muito mais fácil mudar a ordem de integração.

Como queremos uma integral do tipo II (integramos primeiro em x depois em y ), temos que escrever uma região que esteja limitada a esquerda por uma função e a direita por outra. Acima por uma reta e abaixo por outra reta.

Então, nossa região estará limitada a esquerda pela seguinte função:

y = ln ⁡ x ⟹ x = e y

E ela será limitada a direita por:

x = e

Agora, temos que limitar ela por uma reta abaixo e uma reta acima. Abaixo teremos a reta y = 0 . Já acima será pela reta y = k , sendo k o valor da interseção das curvas y = ln ⁡ x   e x = e . Portanto, temos:

y = ln ⁡ e = 1

E assim a nossa integral no tipo II será escrita da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y

Tomem muito cuidado na hora de mudar os limites para não esquecerem de mudar a ordem do d y e d x viu!!!

Passo 3

Por fim, só nos resta resolvermos a nossa integral. Começando a integração pela variável x , temos:

∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y

∫ 0 1 1 e - e y ⋅ x e y e d y

∫ 0 1 e - e y e - e y d y = ∫ 0 1 d y

Agora, só nos resta integramos em relação a y . Portanto,

∫ 0 1 d y = y 0 1 = 1

E assim concluímos a nossa questão. O valor da nossa integral é igual a 1.

Resposta

∫ 0 1 ∫ e y e 1 e - e y d x d y = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.