Dada a seguinte integral dupla

∫ 0 1 ∫ 2 x 2 4 e y 2 d y d x

b) Calcule o valor da integral invertendo a ordem de integração.

Passo 1

A integral que devemos calcular é a

∫ 0 1 ∫ 2 x 2 4 e y 2 d y d x

Para que possamos ter sucesso calculando a nossa integral com a ordem invertida, teremos que mudar os limites de integração.

A nossa região de integração é

2 x ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ 1

As regiões do tipo I são regiões limitada acima e abaixo por uma curva, além disso, é limitada lateralmente por retas verticais. Seu domínio tem a seguinte cara

D = x , y   x 0 ≤ x ≤ x 1   , g x ≤ y ≤ f ( x ) }

Já uma região do tipo II é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais, portanto temos como domínio

D = x , y   y 0 ≤ y ≤ y 1 ,   g y ≤ x ≤ f ( y ) }

Passo 2

Mudando para uma região do tipo II

∫ 0 2 ∫ 0 y / 2 4 e y 2 d x d y

Agora iremos desenvolver a nossa nova integral, primeiro integrando a mais interna

∫ 0 y 2 4 e y 2 d x =   ( y 2 ) ( 4 e y 2 )

Passo 3

Agora iremos calcular a integração mais externa com o resultado da anterior

∫ 0 2 y 2 4 e y 2 d y

Para realizar essa integração iremos utilizar a integração por substituição

u = y 2

d u = 2 y d y

= ∫ y 2 4 e u 2 y d u

= 4 4 ∫ e u d u

= e u

= e y 2

Resposta

e y 2

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.