Resolva a integral dupla

∫ 0 1 ∫ x 1 sen ⁡ y 2 d y d x

Desenhe a região de integração.

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos lembrar que a função sen ⁡ ( y 2 ) é ímpossivel de integrar em y direto, mas esse é um caso clássico de inversão de ordem de integração, vamos tentar!

O enunciado mesmo pede pra desenharmos a região de integração e esse é o primeiro passo pra tentarmos entender melhor como que ficará nosso integral com a ordem invertida.

Temos uma região tipo 1 , com 0 ≤ x ≤ 1 e o y variando entre uma reta y = x e uma constante y = 1 , que graficamente fica assim:

Que também é uma região do tipo 2 com 0 ≤ y ≤ 1 e x variando de x = 0 a x = y .

Passo 2

Então, nossa integral vai ficar:

∫ 0 1 ∫ x 1 sen ⁡ y 2 d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y sen ⁡ y 2 d x d y

Que a gente integra primeiro em x :

∫ 0 1 sen ⁡ y 2 x │ 0 y d y = ∫ 0 1 sen ⁡ y 2 y   d y

Passo 3

E agora em y , que a gente consegue resolver pela substiuição:

u = y 2

⇒ d u = 2 y   d y → d y = d u 2 y

Então a gente fica com:

∫ sen ⁡ y 2 y   d y = ∫ sen ⁡ u 2 d u

⇒ - cos ⁡ u 2 = - cos ⁡ y 2 2

E aplicando os limites de integração:

- cos ⁡ y 2 2 │ 0 1 = - cos ⁡ 1 - cos ⁡ 0 2

⇒ 1 - cos ⁡ 1 2

Pronto, com esse macete ficou bem mais tranquilo, viu?

Resposta

1 - cos ⁡ 1 2

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x