Resolva a integral

∫ 0 3 ∫ 3 y 9 2 e x 2 d x d y

Passo 1

Uma boa forma de começar qualquer questão de integral dupla é fazendo um esboço da região em que a gente está integrando.

Os limites de integração são esses aqui:

3 y ≤ x ≤ 9 0 ≤ y ≤ 3

Então no eixo y , a gente está abaixo da reta y = 3 e acima de y = 0 :

Vamos dar uma olhada na condição x ≥ 3 y :

x ≥ 3 y

Talvez fique mais fácil entender de outro jeito:

y ≤ 1 3 x

Ou seja, estamos sempre abaixo da reta y = 1 3 x , e à esquerda da reta vertical x = 9 . Juntando todas essas condições, a gente chega nessa região aqui:

Passo 2

Então tá, agora com esse gráfico talvez fique mais fácil entender o problema:

I = ∫ 0 3 ∫ 3 y 9 2 e x 2 d x d y

Não dá pra resolver essa integral do jeito que está. Vamos tentar inverter a ordem de integração para tentar melhorar a situação.

No momento os intervalos de integração são esses:

3 y ≤ x ≤ 9 0 ≤ y ≤ 3

A gente quer trocar essa ordem, então vamos limitar x por constantes, ao invés de y .

Olhando o desenho: entre quais valores fixos o x varia?

0 ≤ x ≤ 9

E para a coordenada y ? O valor mínimo é zero:

y ≥ 0

E o valor máximo é aquela reta que vimos antes:

y ≤ 1 3 x

Então os novos limites de integração são:

0 ≤ y ≤ 1 3 x 0 ≤ x ≤ 9

E a nossa integral fica:

I = ∫ 0 3 ∫ 3 y 9 2 e x 2 d x d y = ∫ 0 9 ∫ 0 1 3 x 2 e x 2 d y d x

Agora vamos tentar resolver.

Passo 3

O primeiro passo é resolver a integral de dentro, então:

∫ 0 1 3 x 2 e x 2   d y

Nesse caso, como estamos integrando em relação a y , a função 2 e x 2 funciona como constante:

∫ 0 1 3 x 2 e x 2   d y = 2 e x 2 1 3 x - 0

E colocando isso na integral, ficamos com:

∫ 0 9 ∫ 0 1 3 x 2 e x 2 d y d x = ∫ 0 9 2 3 x e x 2 d x

Beleza, agora a integral pode ser resolvida.

Passo 4

Agora ficamos com o seguinte:

I = 2 3 ∫ 0 9 x e x 2 d x

Essa integral a gente já conhece, dá pra resolver com uma substituição:

u = x 2 d u = 2 x   d x         ⇒           d x = d u 2 x

E temos que mudar também os limites de integração:

x = 0         ⇒         u = 0 x = 9         ⇒           u = 81

Substituindo isso na integral:

I = 2 3 ∫ 0 81 x e u d u 2 x

Agora vamos cortar aquele x de dentro da integral, e aí ficamos com a integral de uma exponencial

I = 2 3 ∫ 0 81 1 2 e u   d u = 1 3 ∫ 0 81 e u   d u

A integral de e u é e u , então:

I = 1 3 e 81 - e 0 = e 81 - 1 3

Pronto! Resolvemos a integral!

Resposta

A integral é e 81 - 1 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.