Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.

d) ∫ 0 1 ∫ a r c t g   y π / 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente trocar a ordem de integração, esboçar a região e calcular a integral. Essa região de integração é definida pelos intervalos da integral dupla que ele nos deu. Nesse caso, temos a região:

R = x ,   y ∈ R 2 |   0 ≤ y ≤ 1 , arctan ⁡ y ≤ x ≤ π 2

Esboçando a região, temos:

Em vermelho, temos a curva x = arctan ⁡ y , que também pode ser escrita como y = tan ⁡ x . A reta em verde representa x = π 2 e, em cinza e azul, temos as retas y = 0 e y = 1 , respectivamente. Se a gente inverter essa ordem de integração, vamos olhar primeiro para y , que vai ta variando de 0 a tan ⁡ x . E depois olhamos para x , que vai tá variando de 0 a π 2 , ou seja:

0 ≤ y ≤ tan ⁡ x

0 ≤ x ≤ π 2

Dessa forma, vamos resolver a integral:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 tan ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y :

∫ 0 π / 2 ∫ 0 tan ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x = ∫ 0 π / 2 y cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x 0 tan ⁡ x d x

Aplicando os intervalos de integração em y :

∫ 0 π / 2 tan ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Mas tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x , então substituindo temos:

∫ 0 π / 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

∫ 0 π / 2 sin ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Passo 3

Pra tornar essa integral mais simples, vamos fazer uma substituição. Pra isso, vamos chamar u = cos ⁡ x . Dessa forma, derivando, temos

d u = - sin ⁡ x d x .

Além disso, quando x = 0 , vamos ter u = cos ⁡ 0 = 1 e, quando x = π 2 , vamos ter u = cos ⁡ π 2 = 0 . Então, alteramos também nossos limites de integração, e nossa integral fica assim:

∫ 0 π / 2 sin ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 0 - 1 + u 2 d u

Pra não ficar com um limite superior menor que o limite inferior, nós invertemos o sinal da integral e trocamos os limites:

- ∫ 0 1 - 1 + u 2 d u = ∫ 0 1 1 + u 2 d u

Passo 4

Agora vamos precisar fazer uma substituição trigonométrica para nos livrarmos dessa raiz. Pra isso, vamos chamar u = tan ⁡ θ . Derivando, temos:

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Além disso, quando u = 1 , temos θ = π 4 . E quando u = 0 , temos θ = 0 . Assim, nossa integral fica:

∫ 0 1 1 + u 2 d u = ∫ 0 π / 4 1 + tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Mas 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ , então fica:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π / 4 sec 3 ⁡ θ d θ

Galerinha, agora pra resolver isso aí a gente poderia usar a integração por partes (o velho ∫ u d v = u v - ∫ v d u ). Assim, a gente chamaria u = sec ⁡ θ e d v = sec 2 ⁡ θ e obteria d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ e v = tan ⁡ θ :

sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ 0 π 4 tan ⁡ θ ( sec ⁡ θ tan ⁡ θ ) d θ

Integrando isso aí, vamos obter:

1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 0 π / 4

E aplicando os limites de integração, temos:

2 + ln ⁡ 1 + 2 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 + ln ⁡ 1 + 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.