Calcule a seguinte integral iterada

∫ 0 1 ∫ y 1 y 1 + x 5 d x d y

Passo 1

Vamos começar então entendendo o nosso problema.

Observe que a integral acima não é tão trivial de se resolver na ordem que ela está. Qual é a dica?! Simmmm!!! Mudança da ordem de integração! :) Vamos ver como isso vai ficar?

Passo 2

Primeiro, vamos mudar a configuração da nossa região D e para fazer isso, vamos olhar para o seu gráfico no plano cartesiano.

Repare que

y ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Se desenharmos no nosso gráfico essas quatro curvas: x = y , x = 1 , y = 0 , e y = 1 ; vamos encontrar nossa região dentro de todas elas.

Então bora desenhar a primeira! x = y é equivalente ao ramo onde x é positivo da parábola y = x 2

x = y       ↔       y = x 2   ;         x ≥ 0

Quanto as retas:

  • y = 0 e y = 1 , são retas paralelas ao eixo x e que passam por esse valor de y (inclusive y = 0 coincide com o próprio eixo x , se lembra?)
  • De modo análogo, x = 1 é uma reta paralela a y e passa por x = 1

Juntando tudo, encontraremos nossa região

Passo 3

Vamos agora mudar a configuração da nossa região.

Antes ela estava configurada como uma região do tipo 2, agora vamos configurá-la como uma região do tipo 1, ou seja

  • x varia em um intervalo numérico bem definido
  • 0 ≤ x ≤ 1

  • y varia da reta y = 0 até a parábola

0 ≤ y ≤ x 2

Passo 4

Agora é só montar a integral e correr para o abraço! :)

∬ D y 1 + x 5   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 y 1 + x 5   d y d x

Note como ficou mais fácil!

Bem... resolvendo primeiro a integral de dentro lembrando que se vamos integrar em y   a gente deve tomar x como constante...

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 y 1 + x 5   d y d x = ∫ 0 1 1 1 + x 5 y 2 2 0 x 2 d x

Substituindo os limites de y ...

∫ 0 1 1 1 + x 5 y 2 2 0 x 2 d x = ∫ 0 1 1 1 + x 5 x 2 2 2 - 0 d x = ∫ 0 1 1 1 + x 5 x 4 2 d x

Agora podemos fazer uma substituição

1 + x 5 = u     →           d u = 5 x 4 d x       →           x 4 d x = d u 5      

Não esqueça de mudar os limites!

x = 0         →           1 + x 5 = u       →       u = 1

x = 1         →           1 + x 5 = u       →       u = 2

∫ 0 1 1 1 + x 5 x 4 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 1 1 + x 5   x 4 d x = 1 2 ∫ 1 2 1 u d u 5 = 1 10 ∫ 1 2 1 u d u →

1 10 ∫ 1 2 1 u d u = 1 10 2 u 1 2 = 2 2 - 1 10 = 1 5 2 - 1

Resposta

∫ 0 1 ∫ y 1 y 1 + x 5 d x d y = 1 5 2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x