Calcule a integral

∬ D x e y 2 d A

Onde D é o triângulo de vértices 0 , - 1 , 2 , - 1   e 1,0

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

O problema nos pede para integrar a área de um triângulo que está em uma posição no plano cartesiano. Como é esse triângulo que devemos calcular a área?

E veja que essa região da área do triângulo está abaixo do eixo y do gráfico, então vamos ter uma integração bem chatinha de ser feita. Mas isso não é problema pra gente!

“Então, Mogli, como eu faço?” Como sempre fazemos: achar os intervalos de integração de cada variável e então integrar. Além disso, não podemos esquecer do problema da função que vamos integrar que não é tão amigável assim. Mas isso também não é problema pra gente!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Como podemos definir os limites de integração? Precisamos ver como a região se comporta:

E podemos separ em partes, como foi feito na imagem. O nosso problmea então é identificar de onde as variaveis x e y saem e até onde elas vão.

Para a primeira parte:

Podemos ver que x parte de 0 e percorre até bater na parede x = 1 . E para y ? Já é mais complicado um pouco, porque ela vai de - 1 até uma parede. Quem é essa parede? É uma reta que liga os pontos 0 , - 1 e ( 1,0 ) . Assim, precisamos achar a equação dessa reta. Logo:

0 - 1 1 1 0 1 x y 1 = 0

Esta é uma tecnica geral para acharmos a equação de uma reta que liga dois pontos. Isto é: colcoamos os dois pontos e o ponto geral x e y , e sempre na ultima coluna colocamos 1 , e assim encontramos o determinante. Então para acharmos a equação da reta basta aplicarmos a regra de Sarrus. Logo:

- x + y + 1 = 0 → y = x - 1

Como saber se essa realmente é reta que liga os dois pontos basta vermos no gráfico:

Sim, ela é reta que liga os pontos 0 , - 1 e ( 1,0 ) .

Voltando ao nosso raciocinio, temos então que y vai de y = - 1 até y = x - 1 . Resumindo:

x ∈ 0,1

y ∈ - 1 , x - 1

Já para segunda parte:

Da mesma maneira y vai de y = - 1 e bate em uma parede. Que parede é essa? ? É uma reta que liga os pontos 2 , - 1 e ( 1,0 ) . Assim, precisamos achara a equação dessa reta. Logo

Da mesma maneira que fizemos agora pouco:

2 - 1 1 1 0 1 x y 1 = 0

Aplicando a regra de Sarrus, temos que:

x + y - 1 = 0 → y = - x + 1

Como saber se essa realmente é reta que liga os dois pontos basta vermos no gráfico:

E sim, essa é a reta que liga. Agora voltando ao nosso raciocinio, vemos que y vai de y = - 1 e bate na parede que é a reta y = - x + 1 .

E para x vemos que ele vai de x = 1 até x = 2 .

Resumindo:

y ∈ - 1 , - x + 1

x ∈ 1,2

E agora achamos os noss intervalos das variaveis que temos que integrar.

Passo 3

Lembrando que tínhamos ∬ D x e y 2 d A

E como fizemos em todos a nossa variável y depender de x , concorda que temos que fazer d y   d x ou invés de d x d y ? Porque d x d y vamos terminar com uma variável x no final que terá sentido algum.

Então como dividimos nossa integral em duas partes, teremos duas integrais, certo? Então:

A = ∬ D x e y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ - 1 x - 1 x e y 2   d y   d x + ∫ 1 2 ∫ - 1 - x + 1 x e y 2   d y   d x

E agora vamos ver como é essa integral?

Passo 4

E aqui uma declaração que devemos fazer: Embora tenhamos feito tudo até aqui, devemos lembrar que é uma prova que foi feita online, e, portanto, devemos realizar a prova nas mesmas circunstâncias que eles. E por que isso? Porque nesse momento chegamos em uma integral que só pode ser realizada por métodos computacionais numéricos, então vamos ver o que o computador nos dá?

Pelo desmos:

Pelo Wolfram:

Então podemos concluir que:

∬ D x e y 2 d A = 1.71828

Onde D é o triângulo de vértices 0 , - 1 , 2 , - 1   e 1,0

Resposta

∬ D x e y 2 d A = 1.71828

Onde D é o triângulo de vértices 0 , - 1 , 2 , - 1   e 1,0

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.