Inverta a ordem da integral, esboce a região de integração se achar necessário e calcule a integral:

∫ 0 π ∫ x π sen ⁡ y y d y d x

Passo 1

Essa função é bastante difícil de integrar, mas se dermos sorte, quando invertermos a ordem de integração, vai acontecer alguma coisa para simplificar nossa vida!

O primeiro passo é identificar a região em que estamos integrando, para depois reescrevermos ela de outra forma.

Na região atual, o x está variando entre 0 e π , e para cada um desses valores de x , o y varia entre a função y = x e y = π :

Então nossa tarefa é: reescrever essa região.

Passo 2

Antes, nós tínhamos limitado o x por constantes:

0 ≤ x ≤ π

E o y tem uma função em um dos limites:

x ≤ y ≤ π

Agora vamos inverter isso, vamos limitar y por constantes. Olhando para a imagem, dá pra ver que todos os pontos na região azul tem coordenada y nesse intervalo:

0 ≤ y ≤ π

Em seguida fazemos a seguinte pergunta: para cada valor de y nesse intervalo, como varia o x ? A resposta está na imagem! O x vai sempre do 0 até a função x = y

0 ≤ x ≤ y

Então nossa integral fica assim:

∫ 0 π ∫ 0 y sen ⁡ y y d x d y

Passo 3

Agora já estamos prontos para resolver a integral, vamos ver se a inversão de ordem resolveu alguma coisa:

I = ∫ 0 π ∫ 0 y sen ⁡ y y d x d y

Começamos integrando em relação a x . Nesse caso, podemos pensar em y como uma constante e colocar toda aquela função para “fora” da integral:

I = ∫ 0 π ∫ 0 y sen ⁡ y y d x d y = ∫ 0 π sen ⁡ y y d y ∫ 0 y d x

Resolvendo a integral da direita:

∫ 0 y d x = y - 0 = y

Então:

I = ∫ 0 π sen ⁡ y y d y y = ∫ 0 π sen ⁡ y d y

Agora sim podemos resolver! A integral do sen ⁡ y é - cos ⁡ y , ou seja:

I = ∫ 0 π sen ⁡ y d y = - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 = - - 1 - - 1 = 2

Resposta

O valor da integral é 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x