6) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

a) ∫ 0 4 ∫ - 4 - y - 2 2 4 - y - 2 2 x + y x 2 + y 2 d x d y = ∫ a b ∫ c d ? ? ? d y d x ,   onde:

a = ? ? ? , b = ? ? ? , c = ? ? ? e d = ? ? ? ;

Passo 1

Falaa... beleza???

Nessa questão vamos mudar a ordem de integração.

Na integral dupla original temos y variando de 0 até 4 e x varia de - 4 - y - 2 2 até 4 - y - 2 2 .

Agora queremos trocar a ordem de integração e ver quais os limites de integração novos.

Passo 2

Podemos desenhar essa região de integração:

Oh... é exatamente o círculo.

Então, mudando a ordem de integração, vamos ter x variando de - 2 até 2 e para y vamos ter:

x = 4 - y - 2 2

x 2 = 4 - y - 2 2

y - 2 2 = 4 - x 2

Duas opções:

i) y - 2 = - 4 - x 2

y = - 4 - x 2 + 2

ii) y - 2 = - 4 - x 2

y = 4 - x 2 + 2

Então temos que y varia de - 4 - x 2 + 2 até 4 - x 2 + 2 .

Passo 3

A integral, com a ordem de integração trocada, fica:

∫ 0 4 ∫ - 4 - y - 2 2 4 - y - 2 2 x + y x 2 + y 2 d x d y = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 + 2 4 - x 2 + 2 x + y x 2 + y 2 d y d x

Repara que, como não tem mudanção de variáveis e tals... o que tem dentro da integral fica igualzinho.

Resposta

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 + 2 4 - x 2 + 2 x + y x 2 + y 2 d y d x

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.