Calcule as seguintes integrais

∫ 0 1 ∫ y 2 y e x 3 d x d y + ∫ 1 4 ∫ y 2 1 e x 3 d x d y

Passo 1

Hmm.. Que questão estranha, primeiro que ele já vem pedindo a soma de duas integrais, depois que a função dentro dela e x 3 , é impossível de integrar... Isso tá me cheirando a inversão da ordem de integração, vamos fazer o esboço da região.

Na primeira integral, temos duas parábolas, mas só a parte de x positivo:

x = y 2 → y = 4 x 2         e         x = y → y = x 2

Com o y variando entre 0 e 1 , ficamos com algo assim:

Na segunda, temos uma constante e uma das parábolas que aparece na região anterior:

x = y 2 → y = 4 x 2       e       x = 1

Como y vai de 1 a 4 , ficamos com isso:

Mas é aí que a mágica acontece, porque, como a função dentro da integral é a mesma podemos desenhar as duas regiões juntas e ficarmos com:

Que é uma região do tipo 1 , então podemos sim inverter a ordem de integração, vamos ver como vai ficar!

Passo 2

Pelo desenho, dá pra ver que o y vai variar entre as duas parábolar e o x vai de 0 a 1 , então ficamos com:

∫ 0 1 ∫ y 2 y e x 3 d x d y + ∫ 1 4 ∫ y 2 1 e x 3 d x d y = ∫ 0 1 ∫ x 2 4 x 2 e x 3 d y d x

Que agora sim podemos tentar resolver!

Passo 3

Vamos integrar primeiro em relação a y :

∫ 0 1 ∫ x 2 4 x 2 e x 3 d y d x = ∫ 0 1 e x 3 y │ x 2 4 x 2 d x

⇒ ∫ 0 1 e x 3 3 x 2 d x

Que a gente resolve pela substituição:

u = x 3 → d u = 3 x 2 d x

Então:

∫ e x 3 3 x 2 d x = ∫ e u d u

⇒ e u = e x 3

Aplicando os limites de integração:

e x 3 │ 0 1 = e 1 3 - e 0 3

⇒ e - 1

Pronto, acabou nem sendo nada bizarro, viu?

Resposta

e - 1

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
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Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x