3 - Inverta a ordem de integração das seguintes integrais duplas iteradas:

a) ∫ 0 4 ∫ 0 y / 2 f x , y d x d y

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão é bem rapidinha, veja só

Temos uma integral de uma função qualquer dada por

∫ 0 4 ∫ 0 y / 2 f x , y d x d y

Podemos usar este método quando temos uma integral muito complicada de inicio com a primeira integral. Então trocamos a ordem de integração para facilitar nossos cálculos.

Aí podemos pensar: “é fácil, só trocar as integrais de lugares”. Mas é aí que a gente se engana.

Perceba que temos que fazer a troca, mas não podemos mudar o resultado, se fizermos isso, no final vamos ter uma variável y depois da substituição dos limites de integração.

Ou seja, é simples, mas não quanto parece! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa a se fazer é desenhar a região de integração pra facilitar nos passos seguintes.

∫ 0 4 ∫ 0 y / 2 f x , y d x d y

Perceba que para a integral com relação a x , os limites de integração vão de y / 2 a 0, já para y , os limites de integração vão de 4 a 0 .

Com isso, vamos ter quatro curvas que limitam nossa região

x = y 2 x = 0 y = 4 y = 0

Se plotarmos essas curvas e hachurar a área em comum dessas variâncias para x e y .

Agora, o que precisamos fazer é descrever a variação de x por meio de duas constantes e y por meio de uma ou duas funções.

Vish, como podemos fazer isso?

Passo 3

Podemos observar que x está variando entre 2 e 0 . Ou podemos mostrar que se x = y / 2 , na extremidade y = 4 , temos

x = y 2 → x = 2

Com isso, já obtemos os limites de integração para x .

Com relação a y , temos a função

x = y 2

Isolando y de um lado, temos

y = 2 x

Esse é um dos limites de integração.

Sempre dizemos que os limites de integração variam da maior curva para a menor curva. Ou seja, para y , a região de integração está descrita de y = 4 até a curva que acabamos de obter, y = 2 x .

Ou seja, os limites de integração para y , é de 4 a 2 x .

Montando nossa integral, vamos ter

∫ 0 2 ∫ 2 x 4 f x , y d y d x

Para visualizar de forma mais clara essas informações é muito necessário ter prática, então bora praticar mais!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 4 ∫ 0 y / 2 f x , y d x d y = ∫ 0 2 ∫ 2 x 4 f x , y d y d x

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.