2) Faça um esboço da região de integração e mude a ordem de integração na seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ tan - 1 ⁡ x π 4 f x , y d y d x .

Passo 1

E aiiii... belezinha?

Nessa questão vamos esboçar a região de integração e, pra isso, vamos usar bem os limites de integração que estão nos símbolos de integral, que é (olhando de dentro pra fora),

y variando de tan - 1 ⁡ x até π 4 e

x variando de 0   até 1 .

E depois vamos mudar a ordem de integração, que é fazer algo como:

∫ ∫ f x , y d x d y .

Atenção, heim!? Não é só trocar a ordem e os limites de integração. Vamos usar o esboço pra definir os novos limites de integração.

Passo 2

Já vamos começar metendo o pé na porta?

Na integral de dentro, vamos esboçar essa função feia aí, que é o que limita a parte de baixo de y .

Lembra que essa tangente aí com -1 é a mesma coisa que arcotangente? É a função inversa de tangente. Se a gente representar assim:

y = tan - ⁡ x

Isso é a mesma coisa que:

tan ⁡ y = x

Pooo... aí um pouquinho mais fazível porque a gente sabe, mais ou menos, como é o gráfico da função tangente.

Mas se não lembrar como é o gráfico, vai chutando uns valores daqueles conhecidos (0, 30, 45, 60 e 90 graus, que, em radianos fica 0 , π 6 , π 4 , π 3 e π 2 )

Repara que vamos começar em zero e parar láááá no infinito (rs) quando y = π 2 .

Esboçando só essa curva:

Passo 3

Maaas essa o y é limitado, na parte de cima, por π 4 . (e temos até na tabela, né?? então essa reta vai cruzar bem bonitinho a curva em x = tan ⁡ π 4 = 1 )

Como já estamos falando de reta. Vamos pros limites de x   também, que são as retas y = 0 e y = 1 .

Esboçando tudo e marcando a região delimitada:

Passo 4

Pra mudar a ordem de integração... Repara que antes estávamos olhando de baixo pra cima, na integral de dentro, certo? Era o y variando de tan - 1 ⁡ x até π 4 .

Agora vamos olhar da esquerda pra direita, na integral de dentro. Então vamos ter o x variando de 0 até a curva, que é tan ⁡ y .

Já para o y ele varia de 0 até π 4 .

Repara que só levamos em conta a curva feiosa uma vez, ok!?

Então a integral dupla, mudando a ordem de integração, fica:

∫ 0 π 4 ∫ 0 tan ⁡ y f x , y d x d y

Acabamos mais uma... Partiu pra próxima?

Resposta

∫ 0 π 4 ∫ 0 tan ⁡ y f x , y d x d y

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.