Considere a integral abaixo

∫ 0 4 ∫ x 2 x 1 + y 5 d y   d x

c) resolva a integral

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? Precisamos calcular essa integral dupla aqui

∫ 0 4 ∫ x 2 x 1 + y 5 d y   d x

x constante, não tem nenhuma técnica de integração que se aplica aqui! Se fosse o contrário, se integrarmos x primeiro, não ficaria mais fácil?

Ficaria! E quando for assim, precisamos inverter a ordem de integração! Por sorte no item anterior o problema pediu para inverter a ordem e obtemos essa integral aqui

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 x 1 + y 5 d x   d y

então a ideia é resolver essa integral!

Partiu começar?

Passo 2

Vamos começar integrando em x

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 x 1 + y 5 d x   d y = ∫ 0 2 1 1 + y 5 x 2 2 x = 0 y 2 d x

Agora vamos aplicar nos limites:

1 2 ∫ 0 2 y 4 1 + y 5 d y

Tudo bem?

Passo 3

Nosso passo final é integrar em y !

1 2 ∫ 0 2 y 4 1 + y 5 d y

Temos y 5 e y 4 , então vamos usar substituição simples, uma vez que uma parte do integrando se parece com a derivada de outra parte!

u = 1 + y 5

d u = 5   y 4 d y → d u 5 = y 4 d y

E os limites?

y = 0 → u = 1

y = 2 → u = 33

Agora é só integrar!

1 2 ∫ 1 33 1 u d u 5 = 1 10 ∫ 1 33 d u u = 1 10 ln ⁡ u 1 33

E por fim aplicar nos limites de integração

1 10 ln ⁡ 33 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 33 10

Ufa! Terminamos!

Até a próxima!

Resposta

ln ⁡ 33 10

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.