Quando convertida em uma integral iterada, as integrais duplas a seguir são mais fáceis de calcular em uma ordem do que outra. Escolha a melhor ordem de integração e calcule a integral

c ) ∬ R x 1 + x y 2 d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 4 ,   1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Oi, tudo bem?

Temos essa integral dupla para resolver

∬ R x 1 + x y 2 d A

A região é retangular, então quanto a isso não precisamos nos preocupar com isso

0 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ 2

O que precisamos analisar é o integrando: escolher a melhor ordem de integração. Para escolher a melhor ordem precisamos pensar nas variáveis separadamente. Se considerarmos x constante, a integral resultante é fácil de resolver? Se a resposta for sim nossa ordem é

d y   d x

E se a resposta for não? Então a ordem é d x   d y . Beleza?

mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Temos essa integral aqui

∬ R x 1 + x y 2 d A

Considerando x constante, ficamos com a integral de x 1 + x y 2     que é bem tranquilo, pois temos a mesma constante no denominador e no numerador, indicando que uma é a derivada do outro! Então nossa ordem de integração é

d y   d x

E a integral fica

∫ 0 4 ∫ 0 2 x 1 + x y 2   d y   d x

Tudo bem até aqui? Vamos começar resolvendo em x :

u = 1 + x y ,   d u = x   d y

Quando y = 0 ,   u = 1 . Quando y = 2 ,   u = 1 + 2 x

∫ 0 4 ∫ 1 1 + 2 x 1 u 2 d u d x = ∫ 0 4 - 1 u u = 1 1 + 2 x d x

E aplicar os limites de integração

∫ 0 4 - 1 1 + 2 x + 1 d x

Beleza?

Passo 3

Agora pra ter certeza de que estamos no caminho certo precisamos que a variável y tenha sumido! Teremos uma integra apenas em x :

∫ 0 4 - 1 1 + 2 x + 1 d x

= - 1 2 ln ⁡ 1 + 2 x + x 0 4

Agora é só aplicar os limites

= - 1 2 ln ⁡ 9 + 1 2 ln ⁡ 1 + 4 - 0 = 4 - 1 2 ln ⁡ 9

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

4 - 1 2 ln ⁡ 9

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.