Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.

c) ∫ 0 π 3 ∫ y π 3 x 4 cos ⁡ ( x 2 y ) d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente trocar a ordem de integração, esboçar a região e calcular a integral. Essa região de integração é definida pelos intervalos da integral dupla que ele nos deu. Nesse caso, temos a região:

R = x ,   y ∈ R 2 |   0 ≤ y ≤ π 3 , y ≤ x ≤ π 3

Esboçando a região, temos:

Em vermelho, temos a reta x = y , que também pode ser escrita como y = x . A reta em verde representa y = 0 e, em laranja e azul, temos as retas x = π 3 e y = π 3 , respectivamente. Se a gente inverter essa ordem de integração, vamos olhar primeiro para y , e ver que ele vai ta variando de 0 até a reta y = x . Depois olhando para x , vemos que ele vai de 0 até π 3 , ou seja:

0 ≤ y ≤ x

0 ≤ x ≤ π 3

Dessa forma, vamos resolver a integral:

∫ 0 π 3 ∫ 0 x x 4 cos ⁡ ( x 2 y ) d y d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y . Mas antes vamos precisar fazer uma substituição pra facilitar nossa vida. Vamos chamar u = x 2 y , assim derivando em relação a y , temos:

d u = x 2 d y → d y = d u x 2

Além disso, quando y = 0 , temos u = 0 e quando y = x , temos u = x 3 . Então, substituindo na integral:

∫ 0 π 3 ∫ 0 x x 4 cos ⁡ ( x 2 y ) d y d x = ∫ 0 π 3 ∫ 0 x 3 x 4 cos ⁡ u x 2 d u d x

Como a gente tá integrando em relação a u e trantando x como constante agora, vamos colocar o x do lado de fora da integral:

∫ 0 π 3 x 4 x 2 ∫ 0 x 3 cos ⁡ ( u ) d u d x

Simplificando a fração do lado de fora e integrando em relação a u , temos:

∫ 0 π 3 x 2 sin ⁡ u 0 x 3

Aplicando os intervalos de integração em u :

∫ 0 π 3 x 2 sin ⁡ ( x 3 ) d x

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a x . Mas pra tornar essa integral mais simples, vamos fazer outra substituição, dessa vez chamando u = x 3 . Dessa forma, derivando, temos

d u = 3 x 2   d x → d x = d u 3 x 2

Além disso, quando x = 0 , vamos ter u = 0 e, quando x = π 3 , vamos ter u = π . Então, alteramos também nossos limites de integração, e nossa integral fica assim:

∫ 0 π x 2 sin ⁡ u d u 3 x 2  

Colocando a constante pra fora da integral e simplificando o x 2 , temos:

1 3 ∫ 0 π sin ⁡ u d u  

Integrando, vai ficar:

1 3 - cos ⁡ u 0 π

Aplicando os intervalos de integração:

1 3 - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = 1 3 ( 1 + 1 )

= 2 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 3

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.