Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida

10. ∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x f x , y d y d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos inverter os limites de integração da integral

∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x f x , y d y d x

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

Na prática para passar a integral de ∫ y i y f ∫ x i x f f x , y d x d y para ∫ x i x f ∫ y i y f f x , y d y d x temos que olhar para os limites de integração de x e de y e tentar reescreve-las de modo que invertemos a função f x → f y ou f y → f x sendo os limites da última integral sempre definidos entre duas constantes.

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Nesse caso, perceba que x varia entre duas constantes x f = 1 e x i = 0 . Já y está definida entre duas funções y f = 3 x e y i = 2 x .

Esboçar as curvas no plano x y pode facilitar bastante o nosso trabalho, vamos fazer isso para ver o que encontramos

Bem mais fácil, não é?

Temos que passar a definir x entre duas funções e y entre duas constantes.

Horizontalmente a região de integração é limitada em duas partes distintas (azul e laranja), a primeira entre a curva azul y = 2 x e a reta verde y = 3 x e a segunda pela reta vermelha x = 1 e a reta verde y = 3 x .

Isolando x em um lado da equação, vamos obter para a primeira parte da região, temos

y = 2 x → x = y 2

y = 3 x → x = y 3

Já para a segunda região (laranja) x é definido superiormente por uma constante e inferiormente por uma função

x = 1

y = 3 x → x = y 3

Então esses serão os limites de integração de x .

Entendeu a ideia? 👀

Passo 3

Agora vamos analisar os limites em y ,tanto na primeira como na segunda região, os limites em y devem ser constantes, ou seja

Na região azul, vamos que y varia de 0 a 2 (que é o ponto onde x = 1 e y = 2 x se intersectam)

Já na região laranja, y varia de 2 a 3 .

Condensando essas informações em duas integrais, temos

∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x f x , y d y d x = ∫ 0 2 ∫ y 3 y 2 f x , y d x d y + ∫ 2 3 ∫ y 3 1 f x , y d x d y

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 1 ∫ 2 x 3 x f x , y d y d x = ∫ 0 2 ∫ y 3 y 2 f x , y d x d y + ∫ 2 3 ∫ y 3 1 f x , y d x d y

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
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Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.