Questão 2: Calcule a integral iterada

∫ 0 2 ∫ ln ⁡ 1 + y ln ⁡ 3 - x + e x   d x d y

Passo 1

Bem...! Em exercícios como esse, você tem que ficar muuuuito atento, pois embora a integral talvez até dê para resolver, você perderia muito tempo de prova! Por isso pare, pense e reflita antes de qualquer conta, ok?

Nesse exercício vamos, portanto, realizar uma troca da ordem de integração e ver se isso nos ajuda, bora?

Passo 2

Para trocar a ordem como planejamos, devemos antes desenhar a região de integração, mas não se preocupe, pois isso pode ser feito retirando algumas informações da própria integral:

  1. como o d y está mais externo, os limites mais externos são dele, portanto:
  2. 0 ≤ y ≤ 2

  3. Enquanto isso:

ln ⁡ 3 ≤ x ≤ ln ⁡ 1 + y

Com esses dois intervalos retirados da integral, você sempre ganha 4 equações:

y = 0

y = 2

x = ln ⁡ 3

x = ln ⁡ 1 + y

E advinha? Sim, vamos desenhar essas 4 curvas no plano X Y !

Passo 3

Comecemos com as três primeiras mais simples equações:

y = 0 e y = 2 , ambas retas paralelas a x (inclusive y = 0 é o próprio eixo x ) ;)

x = ln ⁡ 3 , como ln ⁡ 3 também é um número (um pouquinho menor que 1), essa equação também é uma reta simples, mas dessa vez paralela a y passando justamente por esse número. Veja!

Agora a curva x = ln ⁡ 1 + y , se isolarmos o y lembrando-se da definição de l n ...

ln ⁡ 1 + y = x       →           e x = y + 1       →

y = e x - 1

Chegamos nessa equação conhecida graficamente... A exponencial (só que é a exponencial transladada de 1 unidade em y )!

O legal é que colocando tudo em um mesmo plano (você já ir fazendo-os juntos), vemos a região D   estamos trabalhando! :D

Passo 4

O que devemos fazer agora é trocar a ordem de integração!

Pow! Se antes estávamos trabalhando com y variando em um intervalo numérico, isso implicava que estávamos trabalhando com a região configurada do T i p o   2 . Então, a gente vai configura-la agora do Tipo 1 :D!

Nessa configuração, temos o x que varia entre dois números reais, no caso ele varia de 0 até a reta amarela;

0 ≤ x ≤ ln ⁡ 3

Não podemos nos esquecer da variação do y também!

r e t a   v e r d e ≤ y ≤ c u r v a   v e r m e l h a

Onde concluímos que

0 ≤ y ≤ e x - 1

Passo 5

Basta agora colocar essa nova variação

0 ≤ x ≤ ln ⁡ 3

0 ≤ y ≤ e x - 1

Dentro da integral dupla (mas não se esqueça de que o limite numérico sempre vem primeiro )...

∫ 0 ln ⁡ 3 ∫ 0 e x - 1 - x + e x   d y d x

Repare que agora a inversão está concluída e podemos prosseguir com a resolução da integral. Bora?

Passo 6

∫ 0 ln ⁡ 3 ∫ 0 e x - 1 - x + e x   d y d x = ∫ 0 ln ⁡ 3 - x + e x ∫ 0 e x - 1   d y d x =

∫ 0 ln ⁡ 3 - x + e x e x - 1 d x

Fazendo uma mudança...

- x + e x = u         →              

d u = ( e x - 1 ) d x

Trocando também os limites de integração...

x = 0                 →                   u = - 0 + e 0 = 1

x = ln ⁡ 3                 →                   u = - ln ⁡ 3 + e ln ⁡ 3 = 3 - ln ⁡ 3

Então...

∫ 0 ln ⁡ 3 - x + e x e x - 1 d x = ∫ 1 3 - ln ⁡ 3 u     d u = 2 3 u 3 2 1 3 - ln ⁡ 3 =

2 3 u u 1 3 - ln ⁡ 3 = 2 3 3 - ln ⁡ 3 3 - ln ⁡ 3 - 2 3 1 1 =

2 3 - ln ⁡ 3 - 2 3 ln ⁡ 3 3 - ln ⁡ 3 + 1

Resposta

2 3 - ln ⁡ 3 - 2 3 ln ⁡ 3 3 - ln ⁡ 3 + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x