Calcule as integrais iteradas:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x

E

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y

As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos calcular as duas integrais duplas abaixo:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x

E

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y

A única diferença entre elas é a ordem de integração.

Lembrando que o Teorema de Fubini diz que independente de a gente mudar a ordem de integração, o valor da integral não será alterado.

Assim, vamos calcular cada uma e depois a gente tira nossa conclusão, beleza?

😉

Passo 2

Bom... calculando a primeira integral, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x ∴

= ∫ 0 1 1 x + 1 2 d x ∴

= 1 2

Calculando a segunda integral, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x d y ∴

= ∫ 0 1 - 1 y + 1 2 d y ∴

= - 1 2

Eita... os resultados deram diferentes... e agora??

Passo 3

Então... a função a ser integrada, ou seja, x - y x + y 3 tem uma descontinuidade no ponto 0,0 .

Isso faz com que ela não seja limitada no seu retângulo R = 0,1 × 1,0 , pois x - y x + y 3 diverge para no ponto 0,0 .

Isso então viola as condições do Teorema de Fubini.

Assim, não podemos aplicar esse teorema nessa situação.

😉

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x = 1 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y d x = - 1 2

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.