Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida

11. ∫ 0 a ∫ a 2 - x 2 2 a a 2 - x 2 f x , y d y d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos inverter os limites de integração da integral

∫ 0 a ∫ a 2 - x 2 2 a a 2 - x 2 f x , y d y d x

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

Na prática para passar a integral de ∫ y i y f ∫ x i x f f x , y d x d y para ∫ x i x f ∫ y i y f f x , y d y d x temos que olhar para os limites de integração de x e de y e tentar reescreve-las de modo que invertemos a função f x → f y ou f y → f x sendo os limites da última integral sempre definidos entre duas constantes.

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Nesse caso, perceba que x varia entre duas constantes x f = a e x i = 0 . Já y está definida entre duas funções y f = a 2 - x 2 e y i = a 2 - x 2 2 a .

Não sabemos qual é o valor de a , então podemos definir um valor qualquer só pra podermos visualizar a região. Por exemplo, se a = 1 , temos

Perceba que os limites horizontais inferiores da região não são os mesmos em todo o espaço, então vamos precisar separar a integral em duas, uma para a parte azul e outra para a parte laranja, quando somadas resulta na região dada inicialmente.

Vamos começar isolando x em um lado da equação nos limites de y

y = a 2 - x 2 → y 2 = a 2 - x 2

x = a 2 - y 2

y = a 2 - x 2 2 a → 2 a y = a 2 - x 2

x = a 2 - 2 a y

Substituindo x f e x i em y f , temos

y f = a 2 - x f 2 = a 2 - a 2

y f = 0

y f = a 2 - x i 2 = a 2 - 0 2

y f = a

Agora fazemos o mesmo para y i

y i = a 2 - x f 2 2 a = a 2 - a 2 2 a

y i = 0

y i = a 2 - x i 2 2 a = a 2 - 0 2 a

y i = a 2

Entendeu essa parte? 🤔

Passo 3

Temos três pontos para y ... y 1 = 0 , y 2 = a 2 e y 3 = a

E também três pontos para x ... x 1 = 0 , x 2 = a 2 - y 2 e x 3 = a 2 - 2 a y .

Assim, começando pela região azul, o limite horizontal em x está definito entre as curvas x i = 0 e x f = a 2 - y 2 . Já verticalmente em y , a região está definida entre y i = a / 2 e y f = a .

E por último, para a região laranja, os limites horizontais em x são dados por x i = a 2 - 2 a y e x f = a 2 - y 2 . Já verticalmente em y entre y i = 0 e y f = a / 2 .

Assim, a região total será a soma dessas duas integrais, ou seja.

∫ 0 a ∫ a 2 - x 2 2 a a 2 - x 2 f x , y d y d x = ∫ 0 a 2 ∫ a 2 - 2 a y a 2 - y 2 f x , y d x d y + ∫ a 2 a ∫ 0 a 2 - y 2 f x , y d x d y

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 a ∫ a 2 - x 2 2 a a 2 - x 2 f x , y d y d x = ∫ 0 a 2 ∫ a 2 - 2 a y a 2 - y 2 f x , y d x d y + ∫ a 2 a ∫ 0 a 2 - y 2 f x , y d x d y

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Inverta a ordem de integração.