Calcule as seguintes integrais duplas:

b)

∫ ∫ x sin ⁡ y d x   d y R

Onde R = x , y : 1 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ π 6

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ x sin ⁡ y d x   d y R

Onde R = x , y : 1 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ π 6 .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 0 π / 6 ∫ 1 4 x sin ⁡ y d x   d y

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ 1 4 x sin ⁡ y d x

Colocando a constante para fora da integral e desenvolvendo, temos:

= ∫ 1 4 x sin ⁡ y d x ∴

= sin ⁡ y ∫ 1 4 x d x ∴

= sin ⁡ y x 2 2 4 1 ∴

= 15 sin ⁡ y 2

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 π / 6 ∫ 1 4 x sin ⁡ y d x   d y = ∫ 0 π / 6 15 sin ⁡ y 2 d y ∴

Colocando a constante para fora da integral e desenvolvendo, temos:

= ∫ 0 π / 6 15 sin ⁡ y 2 d y ∴

= 15 2 ∫ 0 π / 6 sin ⁡ y d y ∴

= 15 2 - cos ⁡ y π 6 0 ∴

= 15 2 - cos ⁡ π 6 ∴

= 15 4 2 - 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

15 4 2 - 3

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.