2. Dê a inversão da ordem de integração de ∫ 0 1 ∫ 2 x 3 2 x f x , y d y d x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dada uma integral ∫ 0 1 ∫ 2 x 3 2 x f x , y d y d x e o que temos que fazer é inverter a ordem de integração de d y d x para d x d y .

Como fazemos isso? 👀

Podemos pensar que seria só trocar d y e d x de lugar, trocando também os limites de integração ficando como

∫ 2 x 3 2 x ∫ 0 1 f x , y d x d y

Mas não é tão simples assim, perceba que se fizermos isso, na última integral vamos obter alguma coisa em função de x e não queremos isso.

Então como fazemos isso?

Bora ver! 😁

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar os limites de integração da integral.

Se a integral é dada por

∫ 0 1 ∫ 2 x 3 2 x f x , y d y d x

Vemos que em d y os limites variam entre 2 x e 2 x 3 . Isso significa que os limites de integração em y é dado pelas equações y = 2 x e y = 2 x 3

Com essas equações obtidas, vamos inverter a jogada e isolar x em um lado da igualdade.

Para a equação y = 2 x , temos

y 2 = x

Elevando os dois lados ao quadrado

x 2 = y 2 2

x = y 2 4

Agora para a equação y = 2 x 3 , temos

y 2 = x 3

Tirando a raiz cúbica de cada lado...

x 3 3 = y 2 3

x = y 2 3

Entendeu essa parte? 🤩

Passo 3

Agora, vemos que em d x os limites de integração variam entre 1 e 0 , ou seja, x = 1 e x = 0 .

Substituindo x por 1 nas equações que acabamos de obter, temos

x = y 2 4

y 2 = 4 x

y = 2 x

Fazendo a substituição de x por 1 ...

y = 2

Para a outra equação, temos

x = y 2 3

Elevando os dois lados ao cubo...

x 3 = y 2 3 3 → x 3 = y 2

y = 2 x 3

Substituindo x por 1

y = 2

Com isso, vemos que o limite superior que na configuração inicial era de x = 1 , agora é de y = 2 .

Agora para obter o limite inferior, substituímos x por 0 .

Na primeira equação, temos

y = 2 x → y = 2 0

y = 0

Na segunda equação

y = 2 x 3 → y = 2 0 3

y = 0

Assim, vemos que o limite inferior em d y será 0 .

Está acompanhando? 😎

Passo 4

Por fim, vamos juntar as informações que obtemos e montar nossa nova integral.

Os limites de integração em d x é dado pelas equações x = y 2 4 e x = y 2 3 .

Já em d y , os novos limites de integração são dados por y = 2 e y = 0 .

Esboçando a região limitada por essas curvas, temos

Onde a curva azul é dada por x = y 2 3 e a vermelha por x = y 2 4 .

Assim vemos que o limite superior em d x é dado por y 2 3 e o limite inferior por y 2 4 .

E finalmente, montando nossa integral, vamos obter

∫ 0 2 ∫ y 2 4 y 2 3 f x , y d x d y

Entendeu tudo? 😉

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 2 ∫ y 2 4 y 2 3 f x , y d x d y

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.