Usando a definição de integrais iteradas, calcule:

(a) O número

α = ∫ 0 2 ∫ y 2 + 1 2 2 x + 4 d x d y

(b) O número

β = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 2 2 x + 4 d y d x

(c) Qual das seguintes relações é verdadeira: α < β ,   α = β , ou α > β ? Explique, usando um argumento teórico, por que já se espera que tal relação seja verdadeira, mesmo antes de se calcular α e β .

Passo 1

Letra (a)

Bom, aqui é só calcular a integral mesmo na ordem dada. Vai ser assim, olha só:

Integrando primeiramente em x

α = ∫ 0 2 2 x 2 2 + 4 x y 2 + 1 2 d y = ∫ 0 2 x 2 + 4 x x = y 2 + 1 x = 2 d y

= ∫ 0 2 2 2 + 8 - y 2 + 1 2 + 4 y 2 + 1 d y

= ∫ 0 2 12 - y 2 4 + y + 1 + 2 y + 4 d y

= ∫ 0 2 - y 2 4 - 3 y + 7 d y

Integrando em y

= - y 3 3.4 - 3 y 2 2 + 7 y 0 2

= - 8 12 - 12 2 + 14 = 14 - 6 - 2 3

α = 22 3

Passo 2

Letra (b)

De novo precisamos calcular a integral, vamos lá? Começando a integrar em relação a y agora

β = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 2 2 x + 4 d y d x

= ∫ 1 2 2 x + 4 y y = 0 y = 2 x - 2 d x

= ∫ 1 2 2 x + 4 2 x - 2 d x

= ∫ 1 2 4 x 2 + 4 x - 8 d x

Integrando em relação a x

= 4 x 3 3 + 4 x 2 2 - 8 x 1 2 = 4 x 3 3 + 2 x 2 - 8 x 1 2

= 32 3 + 8 - 16 - 4 3 + 2 - 8

= 32 3 - 8 - - 14 3

= 46 3 - 8

β = 22 3

Passo 3

Letra (c)

Agora que sabemos o valor de α e β é fácil responder a primeira pergunta, não é? Os dois números são iguais!

α = β = 22 3

A segunda parte da questão que é um pouco mais chata, ele pede alguma explicação teórica aqui pra explicar como poderíamos imaginar que já ia dar igual...

Analisando as duas integrais uma embaixo da outra aqui

α = ∫ 0 2 ∫ y 2 + 1 2 2 x + 4 d x d y

β = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 2 2 x + 4 d y d x

Podemos perceber que as duas integrais tem a mesma função 2 x + 4 dentro delas!

“Ah, mas isso não quer dizer nada, isso não prova que o resultado tem que dar o mesmo.”

Se você pensou isso, ótimo! Realmente não prova nada! Para duas integrais terem o mesmo valor com certeza, elas precisam integrar a mesma função f x , y e estar na mesma região de integração.

Mas perceba o seguinte: α está escrito numa região do tipo I I e β numa região do tipo I ! Então olhando assim ninguém consegue perceber que seja a mesma região, como conferimos isso?

Bom, vamos fazer um esboço da região de α e inverter a ordem de integração! Se bater com os limites de β provamos porque o resultado é igual =D

Passo 4

A região α possui esses limites aqui

y 2 + 1 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

Portanto x é limitado superiormente pela reta x = 2 (vermelha) e inferiormente por x = y 2 + 1 (azul)

Essa segunda reta, pode ser mais simples esboçar com isso aqui

x = y 2 + 1

2 x = y + 2

y = 2 x - 2

Olha o esboço então

Agora vamos analisar esse mesmo esboço no tipo I , pra isso precisamos escrever a reta azul como y = 2 x - 2 , com isso

Logo os limites dessa região no tipo I são

0 ≤ y ≤ 2 x - 2

1 ≤ x ≤ 2

Portanto as regiões de α e β são as mesmas! Provando porque o resultado da integral deu igual =D

Resposta

α = β = 22 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x