Resolva a integral:

∫ 0 2 l n ⁡ ( 3 ) ∫ y 2 l n ⁡ ( 3 ) e x 2 d x d y

Invertendo a orgem de integração.

Passo 1

Para inverter a ordem de integração, é essencial fazer um esboço da região!

Então vamos lá, nossa situação é a seguinte, o y varia nesse intervalo:

0 ≤ y ≤ 2 l n ⁡ ( 3 )

E para cada y nesse intervalo, o x varia entre uma função e uma constante:

y ≤ x ≤ 2 l n ⁡ ( 3 )

Então estamos integrando e x 2 nessa região aqui:

Passo 2

Então tá, antes tínhamos fixado a variação do y com constantes. Para trocar a ordem de integração, vamos fixar o x com constantes!

Olhando para a região, quais limites podemos colocar para o x ?

0 ≤ x ≤ 2 l n ⁡ ( 3 )

Agora vamos escolher um ponto qualquer do eixo x , qual o intervalo em que ele varia no eixo y ?

A coordenada y daquele ponto roxo ali, por exemplo, vai variar nesse intervalo:

0 ≤ y ≤ x

Esse x no limite superior vem do fato de que aquela reta na diagonal é a função y = x .

Passo 3

Então beleza, agora já temos os intervalos que as duas variáveis percorrem:

0 ≤ x ≤ 2 l n ⁡ ( 3 )

0 ≤ y ≤ x

Substituindo isso na integral (que vamos chamar de I ):

I = ∫ 0 2 ln ⁡ 3 ∫ 0 x e x 2 d y d x

Agora sim, essa é uma integral que podemos resolver.

Passo 4

Primeiro vamos integrar em relação a y , nesse caso lembre que vamos tratar o x como uma constante, então o e x 2 pode simplesmente ser colocado pra fora da integral!

∫ 0 x e x 2 d y = e x 2 ∫ 0 x d y

E o valor da integral é:

x e x 2

Colocando isso de volta na integral dupla:

∫ 0 2 ln ⁡ 3 x e x 2   d x

Passo 5

Aqui podemos fazer uma substituição simples:

u = x 2

d u = 2 x     d x

E os limites de integração também precisam ser trocados:

x = 0           ⇒     u = 0 2 = 0

y = 2 ln ⁡ 3       ⇒           u = 4 ln 2 ⁡ ( 3 )

Agora vamos substituir tudo isso na integral:

I = ∫ 0 2 ln ⁡ 3 x e x 2   d x = ∫ 0 4 ln 2 ⁡ ( 3 ) x e u d u 2 x = 1 2 ∫ 0 4 ln 2 ⁡ ( 3 ) e u   d u

E como a integral de e u é simplesmente e u :

I = 1 2 ∫ 0 4 ln 2 ⁡ ( 3 ) e u   d u = 1 2 e 4 ln 2 ⁡ 3 - e 0

I = 1 2 e 4 ln 2 ⁡ 3 - 1

Pronto, resolvemos a integral!

Resposta

O valor da integral é 1 2 ( e 4 ln 2 ⁡ 3 - 1 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x