1. Resolva as integrais duplas:

f) ∫ 0 2 ∫ y 2 3 x 4 e y x 2 d x d y

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral dupla.

Repara que se formos resolver nessa ordem vai ficar beeem difícil, então vamos usar a técnica de trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro precisamos desenhar a região de integração:

Repara que, se mudarmos a ordem, o x vai variar de 0 até 2 e o y vai variar de 0 até x .

A integral dupla fica:

∫ 0 2 ∫ 0 x 3 x 4 e y x 2 d y d x

Passo 3

Pra resolver a integral de dentro, vamos suar substituição simples (atenção, pois estamos integrando em relação a y ):

u = y x 2

d u = x 2 d y → d y = d u x 2

E os limites de integração ficam:

y = 0 → u = 0

y = x → u = x 3

E a integral dupla fica:

∫ 0 2 ∫ 0 x 3 x 4 e y x 2 d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 x 3 3 x 4 e u d u x 2 d x

= ∫ 0 2 ∫ 0 x 3 3 x 2 e u d u d x

= ∫ 0 2 3 x 2 e u 0 x 3 d x

= ∫ 0 2 ( 3 x 2 e x 3 - 3 x 2 ) d x

= ∫ 0 2 3 x 2 e x 3 d x - ∫ 0 2 3 x 2 d x

Passo 4

Como dividimos em duas integrais, vamos calcular a primeira integral usando substituição simples, de novo:

u = x 3

d u = 3 x 2 d x

Para os limites de integração:

x = 0 → u = 0

x = 2 → u = 8

A integral fica:

∫ 0 2 3 x 2 e x 3 d x = ∫ 0 8 e u d u

= e u 0 8

= e 8 - 1

E pra segunda integral:

∫ 0 2 3 x 2 d x = x 3 0 2

= 8

Voltando, pra achar a resposta:

= ∫ 0 2 3 x 2 e x 3 d x - ∫ 0 2 3 x 2 d x

= e 8 - 1 - 8

= e 8 - 9

Resposta

e 8 - 9

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.