Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida

12. ∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos inverter os limites de integração da integral

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

Na prática para passar a integral de ∫ y i y f ∫ x i x f f x , y d x d y para ∫ x i x f ∫ y i y f f x , y d y d x temos que olhar para os limites de integração de x e de y e tentar reescreve-las de modo que invertemos a função f x → f y ou f y → f x sendo os limites da última integral sempre definidos entre duas constantes.

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Nesse caso, perceba que y varia entre duas constantes y f = 1 e y i = 0 . Já x está definida entre duas funções x f = 1 - y e x i = - 1 - y 2 .

Esboçando essas curvas no plano x y , vamos obter a região de integração.

Agora temos que definir essa região de integração em y entre duas funções e em x entre duas constantes.

Porém perceba que a região não é limitada superiormente pela mesma curva durante todo o espaço, por isso vamos ter que dividir a região em duas partes, uma que é limitada superiormente pela curva x i = - 1 - y 2 que está representada em roxo e o outro espaço representado em laranja limitado pela curva x f = 1 - y .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Vamos começar pela região roxa... verticalmente a região é limitada superiormente pela curva x = - 1 - y 2 e inferiormente pela curva y = 0 .

Isolando y na equação x = - 1 - y 2 , temos

x 2 = 1 - y 2 → y 2 = 1 - x 2

y = 1 - x 2

Assim, descobrimos que a região roxa está limitada em y no intervalo 0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Já horizontalmente vemos que essa região é limitada entre - 1 e 0 , ou seja, - 1 ≤ x ≤ 0

Portanto, a integral pode ser escrita como

∫ - 1 0 ∫ 0 1 - x 2 f x , y d y d x

Agora olhando para a segunda região (laranja), vemos que superiormente ela é limitada pela reta x = 1 - y e inferiormente pela reta y = 0 . Assim, isolando y na equação x = 1 - y podemos obter o intervalo em que y varia nessa região.

x = 1 - y → y = 1 - x

0 ≤ y ≤ 1 - x

Já horizontalmente, x varia no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 , portanto a integral da região laranja é dada por

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x f x , y d y d x

Portanto, como a região original é a soma das duas regiões, temos

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y = ∫ - 1 0 ∫ 0 1 - x 2 f x , y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x f x , y d y d x

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y = ∫ - 1 0 ∫ 0 1 - x 2 f x , y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x f x , y d y d x

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Inverta a ordem de integração.