1. Resolva as integrais duplas:

a) ∫ 0 5 ∫ 2 x 10 y 4 e x y 2 d y d x

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral dupla.

Repara que se formos resolver nessa ordem vai ficar beeem difícil, então vamos usar a técnica de trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro precisamos desenhar a região de integração:

Repara que, se mudarmos a ordem, o y vai variar de 0 até 10 e o x vai variar de 0 até y 2 .

A integral dupla fica:

∫ 0 10 ∫ 0 y 2 y 4 e x y 2 d x d y

Passo 3

Pra resolver a integral de dentro, vamos usar substituição simples (atenção, pois estamos integrando em relação a x ):

u = x y 2

d u = y 2 d x → d x = d u y 2

E os limites de integração ficam:

x = 0 → u = 0

x = y 2 → u = y 3 2

E a integral dupla fica:

∫ 0 10 ∫ 0 y 2 y 4 e x y 2 d x d y = ∫ 0 10 ∫ 0 y 3 2 y 4 e u d u y 2 d y

= ∫ 0 10 ∫ 0 y 3 2 y 2 e u d u d y

= ∫ 0 10 y 2 e u 0 y 3 2 d y

= ∫ 0 10 y 2 e y 3 2 - 1 d y

= ∫ 0 10 y 2 e y 3 2 d y - ∫ 0 10 y 2 d y

Passo 4

Como dividimos em duas integrais, vamos calcular a primeira integral usando substituição simples, de novo:

u = y 3 2

d u = 3 y 2 2 d y → d y = 2 3 y 2 d u

Para os limites de integração:

y = 0 → u = 0

y = 10 → u = 500

A integral fica:

∫ 0 10 y 2 e y 3 2 d y = ∫ 0 500 y 2 e u 2 3 y 2 d u

= ∫ 0 50 0 2 3 e u d u

= 2 3 e u 0 500

= 2 3 e 500 - 1

E pra segunda integral:

∫ 0 10 y 2 d y = y 3 3 0 10

= 1000 3

Voltando, pra achar a resposta:

= ∫ 0 10 y 2 e y 3 2 d y - ∫ 0 10 y 2 d y

= 2 3 e 500 - 1 - 1000 3

= 2 e 500 - 1002 3

Resposta

2 e 500 - 1002 3

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.