1. Resolva as integrais duplas:

c) ∫ 0 2 ∫ x 2 y 4 sen ⁡ x y 2 d y d x

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral dupla.

Repara que se formos resolver nessa ordem vai ficar beeem difícil, então vamos usar a técnica de trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro vamos desenhar a região de integração:

Repara que, se mudarmos a ordem, o y vai variar de 0 até 2 e o x vai variar de 0 até y .

A integral dupla fica:

  ∫ 0 2 ∫ x 2 y 4 sen ⁡ x y 2 d y d x =   ∫ 0 2 ∫ 0 y y 4 sen ⁡ x y 2 d x d y

Passo 3

Pra resolver a integral de dentro, vamos usar substituição simples (atenção, pois estamos integrando em relação a x ):

u = x y 2

d u = y 2 d x → d x = d u y 2

E os limites de integração ficam:

x = 0 → u = 0

x = y → u = y 3

E a integral dupla fica:

∫ 0 2 ∫ 0 y y 4 sen ⁡ x y 2 d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 y 3 y 4 sen ⁡ u d u y 2 d y

= ∫ 0 2 ∫ 0 y 3 y 2 sen ⁡ u d u d y

= ∫ 0 2 y 2 - cos ⁡ u 0 y 3 d y

= ∫ 0 2 y 2 1 - cos ⁡ y 3 d y

= ∫ 0 2 y 2 d y - ∫ 0 2 y 2 cos ⁡ y 3 d y

Passo 4

Como dividimos em duas integrais, vamos calcular a primeira integral:

∫ 0 2 y 2 d y = y 3 3 0 2

= 8 3

A segunda integral vamos calcular usando substituição simples:

u = y 3

d u = 3 y 2 d y → d y = d u 3 y 2

Para os limites de integração:

y = 0 → u = 0

y = 2 → u = 8

A integral fica:

∫ 0 2 y 2 cos ⁡ y 3 d y = ∫ 0 8 y 2 cos ⁡ u d u 3 y 2

= ∫ 0 8 cos ⁡ u 3 d u

= sen ⁡ u 3 0 8

= sen ⁡ 8 3

Voltando, pra achar a resposta:

∫ 0 2 y 2 d y - ∫ 0 2 y 2 cos ⁡ y 3 d y

= 8 3 - sen ⁡ 8 3

= 8 - sen ⁡ 8 3

Resposta

8 - sen ⁡ 8 3

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.