1 . Considere a integral iterada

I = ∫ x = 0 2 ∫ y = x / 2 1 e y 2   d y d x

( a ) Esboce a região de integração.

( b ) Inverta a ordem de integração.

( c ) Calcule a integral.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!

Temos uma integral dupla em mãos.

E nós temos que esboçar a região onde ela está sendo calcula, ou seja, temos que desenhar a região onde acontece a integração e a gente usa os limites de integração como base para isso.

O item b pede para invertermos a ordem de integração, ou seja, em vez de calcular na ordem d y d x , vamos calcular na ordem d x d y , mas não é só trocar as integrais de lugar, os limites de integração mudam por conta disso.

E por último no item ( c ) temos que resolver essa linda integral.

Vamos nessa então!

Passo 2

Vamos começar esboçando a região pedida em ( a ) .

Essa região na direção y varia de y = x 2 até y = 1 e na direção x varia de x = 0 até x = 2 , então ela fica da seguinte forma:

A região é essa que está em azul.

Passo 3

Agora vamos inverter a ordem de integração que o item ( b ) pede.

Temos que colocar nossa integral em d x d y , então vamos primeiro ver os limites de integram em x .

O olhando a região que desenhamos em ( a ) , dá para ver que os valores de x partem do zero, até encostar na reta azul, essa reta azul é definida por:

y = x 2

Invertendo essa função temos:

x = 2 y

Então x varia de x = 0 à x = 2 y . Agora vamos ver o limite de integração em y , olhando a região novamente, a gente consegue ver que y varia de y = 0 até y = 1 .

Usando isso então a integral fica da seguinte forma:

I = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y e y 2   d x d y

Passo 4

Agora vamos integrar a integral que reescrevemos em ( b ) , temos:

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e y 2   d x d y

Como estamos integrando primeiro em d x e a função não depende de x , temos:

∫ 0 1 e y 2 d y ∫ 0 2 y d x

= ∫ 0 1 e y 2 d y   x 0 2 y = ∫ 0 1 2 y e y 2 d y

Passo 5

Agora para resolver essa integral em y , vamos usar a técnica de substituição, vamos chamar

u = y 2

d u = 2 y   d y

E os limites de integração ficam da seguinte forma:

u = 0 2 = 0

E

u = 1 2 = 1

A integral fica seguinte forma:

∫ 0 1 e u d u = e u 0 1

⇒ ∫ 0 1 e u d u = e - 1

Então temos que:

I = e - 1

Resposta

( a )

( b )

I = ∫ 0 1 ∫ 0 2 y e y 2   d x d y

( c )

I = e - 1

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Inverta a ordem de integração.