Calcule:

∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 4 a 2 - y 2 3 4 d y d x

Com a > 0

Passo 1

A questão é bem direta, né? Só precisamos calcular a integral que ele nos deu, só que integrar esse cara aí em relação a y parece ser bem complicado! Para tentar facilitar isso, vamos inverter a ordem de integração, lembra como faz isso? Primeiro vamos desenhar o gráfico dos limites:

Temos as seguintes equações nos limites de y :

y = 0

y = a 2 - x 4   → y 2 + x 4 = a 2

Essas funções variando no intervalo de 0 ≤ x ≤ a , fazendo o esboço do gráfico temos:

Onde estamos interessados na região vermelha.

Passo 2

Agora vamos encontrar os novos limites!

Vamos isolar x na nossa equação pra ver qual vai ser o seu limite:

y 2 + x 4 = a 2 → x = a 2 - y 2 1 4

Veja que a gente achou um limite bem parecido com a função que precisamos integrar!! Da pra imaginar que estamos no caminho certo!

Portanto vemos que nossos novos limites são

0 ≤ x ≤ a 2 - y 2 1 4

0 ≤ y ≤ a

Passo 3

Vamos reescrever então a nossa função:

∫ 0 a ∫ 0 a 2 - y 2 1 4 a 2 - y 2 3 4 d x d y

Passo 4

Integrar isso em x é simples né? Só de mudar os limites de integração já facilitou muito nossas contas! Como não temos nenhum termo x dentro da integral vamos ficar com isso aqui:

∫ 0 a a 2 - y 2 3 4 x x = 0 x = a 2 - y 2 1 4 d y =

= ∫ 0 a a 2 - y 2 3 4 a 2 - y 2 1 4 d y

= ∫ 0 a a 2 - y 2 d y

Passo 5

Integrando em y :

= a 2 y - y 3 3 y = 0 y = a = a 3 - a 3 3

= 2 a 3 3

Resposta

2 a 3 3

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x