Calcule

∫ 0 8 ∫ y 3 2 e x 4 d x d y

Passo 1

Ok, não conseguimos integrar isso aí de cara, né? Pelo menos não em x , mas em y seria tranquilo, certo?

Vamos tentar trocar essa ordem de integração então para ver se fica mais fácil. Temos as seguintes equações:

x = 2

x = y 3

y = 0

y = 8

Para entender o gráfico de x = y 3 , podemos pensar na função y = x 3 , que conhecemos. Temos isso aqui:

Passo 2

Pelo gráfico, vemos que x varia entre a curva x = y 3 e 0 e que y varia entre 0 e 8 . Mas para escrever essa região como tipo II, precisamos isolar o x em x = y 3 , não é? Isso nos dá y = x 3 . Então 0 ≤ y ≤ x 3 .

E temos x variando desde x = 0 até x = 2 (podemos ver isso no gráfico). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

∫ 0 2   ∫ 0 x 3 e x 4   d y d x =

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a y :

= ∫ 0 2 e x 4 y 0 x 3 d x =

= ∫ 0 2 e x 4 x 3 d x =

Passo 4

Agora, vamos integrar em x :

= 1 4 e x 4 0 2 =

= 1 4 ( e 16 - 1 )

Resposta

1 4 ( e 16 - 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x