Calcule

∫ 0 1 ∫ x 1 3 y 4 cos ⁡ ( x y 2 ) d y d x

Esboce a região de integração.

Passo 1

Vamos começar desenhando essa região de integração. Temos:

x ≤ y ≤ 1

Ou seja, y está entre as retas y = x e y = 1 e:

  0 ≤ x ≤ 1

Portanto, temos essa região aqui:

Passo 2

Agora vamos à integral

∫ 0 1 ∫ x 1 3 y 4 cos ⁡ x y 2 d y d x

Meio difícil de integrar isso aí direto, né? Vamos tentar simplificar as coisas invertendo a ordem de integração, escrevendo a região de outra forma. A região está escrita como do tipo I , vamos reescrevê-la como tipo I I , temos:

0 ≤ x ≤ y

0 ≤ y ≤ 1

Aplicando isso na integral, temos

∫ 0 1 ∫ 0 y 3 y 4 cos ⁡ ( x y 2 ) d x d y

Passo 3

Agora podemos integrar isso aí em relação a x :

= ∫ 0 1 3 y 4 . 1 y 2 sen ⁡ ( x y 2 ) 0 y d y =

= ∫ 0 1 3 y 2 sen ⁡ ( y 3 ) d y =

Passo 4

Bem melhor, né? Temos um cara estranho dentro da integral, então vamos fazer:

u = y 3

Que assim a parada fica mais fácil de ver, agora temos que mudar os limites de integração

y = 0       →       u = 0 3 = 0

y = 1         →       u = 1 3 = 1

Agora vamos as derivadas de u

d u = 3 y 2

Aplicando isso na integral, temos:

= ∫ 0 1 sen ⁡ u d u =

= - cos ⁡ u 0 1

= - cos ⁡ 1 - - cos ⁡ 0

= 1 - c o s ⁡ ( 1 )

Resposta

1 - c o s ⁡ ( 1 )

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x