Calcule a integral

∫ 0 e - 1 ∫ ln ⁡ ( 1 + x ) 1 e y - y d y d x

Passo 1

Ok, não conseguimos integrar isso aí de cara, né? Pelo menos não em y , mas em x seria tranquilo, certo?

Vamos tentar trocar essa ordem de integração então para ver se fica mais fácil. Temos as seguintes equações:

y = ln ⁡ 1 + x

y = 1

x = 0

x = e - 1

Para entender o gráfico da primeira função, podemo pensar em y = ln ⁡ x , que nós sabemos que tem o seguinte formato:

A função y = ln ⁡ ( x + 1 ) é essa aí “movida” para a esquerda. Repare que essa função corta a origem, pois f 0 = ln ⁡ ( 0 + 1 ) = 0 . Temos o seguinte:

Certo, agora podemos fazer um esboço da nossa região de integração:

Repare que f e - 1 = ln ⁡ ( e - 1 + 1 ) = ln ⁡ e = 1 .

Passo 2

Pelo gráfico, vemos que y varia entre a curva y = ln ⁡ ( x + 1 ) e 1 e que x varia entre 0 e e - 1 . Mas para escrever essa região como tipo II, precisamos isolar o x em y = ln ⁡ ( x + 1 ) , não é?

e y = x + 1

x = e y - 1

Logo, temos x variando desde x = 0 até x = e y + 1 . Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

∫ 0 1   ∫ 0 e y - 1 e y - y   d x d y =

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a x :

= ∫ 0 1   x e y - y 0 e y - 1 d y =

= ∫ 0 1   e y - 1 e y - y d y =

Passo 4

Agora integramos em relação a y . Vamos fazer:

e y - y = u

e y - 1 d y = d u

= ∫ u d u =

= 2 3 u 3 2 = 2 3 e y - y 3 2 0 1

= 2 3 e - 1 3 / 2 - 1

Resposta

2 3 e - 1 3 / 2 - 1

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x